Perbedaan Permutasi dan Kombinasi

❤❤PERMUTASI❤❤
Permutasi dari sekumpulan unsur-unsur adalah cara penyusunan/memilih unsur-unsur yang berbeda dengan memperhatikan urutan $(AB\neq BA)$. Misalkan dalam suatu kelas akan dipilih 4 orang sebagai perangkat kelas yaitu ketua, wakil, sekretaris dan bendehara. Dalam soal ini memperhatikan urutan, karena misalkan si A sebagai ketua, si B sebagai wakil, si C sebagai sekretaris dan si D sebagai bendehara berbeda dengan si C sebagai ketua, si A sebagai wakil, si B sebagai sekretaris dan si D sebagai bendehara. Biarpun orang-orang yang di pilih sama yaitu si A,B,C,D tetapi keempat orang itu menempati posisi yang berbeda maka dapat dikatakan sebagai memperhatikan urutan. 

Jenis-jenis permutasi

1. Permutasi $n$ unsur yang di ambil dari $n$ unsur yang ada.

     $P(n,n)=_{n}^{n}\textrm{P}=\frac{n!}{(n-n)!}=n!$

2. Permutasi $r$ unsur yang di ambi dari $n$ unsur yang ada, dengan $r<n$

    $P(n,r)=_{r}^{n}\textrm{P}=\frac{n!}{(n-r)!}$

3. Permutasi $n$ unsur yang di ambil dari $n$ unsur yang ada, dimana dari $n$ unsur tersebut terdapat $m$ unsur yang sama, $k$ unsur yang sama dan $l$ unsur yang sama

    $\frac{n!}{(m!.k!.l!)}$ 

4. Permutasi siklis $melingkar$ dari $n$ unsur 

    $(n-1)!$
Contoh soal
1. Terdapat 5 orang yang akan duduk berjejer untuk mengantre. Berapa banyak cara susunan antrean tersebut?
Pembahasan
Misalkan orang yang akan mengantre adalah si A,B,C,D,E. Posisi tempat duduk A,B,C,D,E berbeda dengan B,A,C,D,E. Maka dalam soal ini menggunakan permutasi 5 unsur dari 5 unsur yang ada. Maka $P(5,5)=_{5}^{5}\textrm{P}=\frac{5!}{(5-5)!}=5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120\ cara$
2. Dalam suatu kelas yang terdiri dari 20 siswa akan dipilih 4 orang untuk menjadi ketua kelas,  wakil, sekretaris dan bendehara. Tentukan banyak cara memilih ke empat orang tersebut.
Pembahasan
Dari soal maka dapat digunakan permutasi 4 unsur dari 20 unsur yang ada, maka  $P(20,4)=_{4}^{20}\textrm{P}=\frac{20!}{(20-4)!}=\frac{20\times 19\times18\times17\times16!}{16!}=20\times 19\times18\times17$.
3. Banyaknya cara menyusun kata MATEMATIKA adalah
Pembahasan
MATEMATIKA terdiri dari 10 huruf, ada 2 huruf T, 2 huruf M, 3 huruf A. Maka banyak cara menyusun kata tersebut adalah $\frac{10!}{(2!.2!.3!)}=10.9.2.7.5.3.2.1$
4. Lima orang dalam keluarga akan duduk melingkar untuk makan malam bersama. Berapa banyak cara susunan duduk kelima orang tersebut.
Pembahasan
Dari soal maka dapat dicari dengan permutasi siklis [melingkar] dari $5$ unsur, maka $(5-1)!=4!$

❤❤KOMBINASI❤❤
Kombinasi dari sekumpulan unsur-unsur adalah cara penyusunan unsur-unsur yang berbeda tanpa memperhatikan urutan $AB=BA$. Misalkan dalam suatu kelas akan dipilih 4 orang untuk mewaliki perlombaan matematika. Dalam soal ini tidak memperhatikan urutan karena yang dipilih hanya 4 orang misalkan si A,B,C,D dan tidak ada perbedaan dalam posisi, jabatan atau yang lainnya.
Jenis-jenis kombinasi
1. Kombinasi $n$ unsur yang di ambil dari $n$ unsur yang ada.
     $C(n,n)=_{n}^{n}\textrm{C}=\frac{n!}{(n-n)!.n!}=1$
2. Kombinasi $k$ unsur yang di ambi dari $n$ unsur yang ada, dengan $k<n$
     $C(n,k)=_{k}^{n}\textrm{C}=\frac{n!}{(n-k)!.k!}=1$
Contoh soal
Dalam suatu kelas yang terdiri dari 20 orang, akan dipilih 3 orang untuk mewaliki lomba matematika. Banyak cara memilih 3 orang tersebut adalah...
Pembahasan
Dari soal maka dapat dicari dengan kombinasi $3$ unsur yang di ambi dari $20$ unsur yang ada. Maka $C(20,3)=_{3}^{20}\textrm{C}=\frac{20!}{(20-3)!.3!}=\frac{20.19.18.17!}{17!.3.2.1}=20.19.3$
Lihat juga: Soal peluang, Distribusi Normal, Peluang Binomial

Pembahasan Soal SBMPTN Turunan [1]

UM-UGM 2005
Turunan dari $f(x)=\frac{x^2-7}{x\sqrt{x}}$ adalah ...

Pembahasan
$y=\frac{u}{v}\rightarrow y'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$
$f(x)=\frac{x^2-7}{x\sqrt{x}}$, maka
$f'(x)=\frac{2x.(x\sqrt{x})-(x^2-7).\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}}{(x\sqrt{x})^2}$

$f'(x)=\frac{2x^2\sqrt{x}-\frac{3}{2}x^2\sqrt{x}+\frac{21}{2}\sqrt{x}}{x^2\sqrt{x}\sqrt{x}}$

$f'(x)=\frac{x^2+21}{2x^2\sqrt{x}}$

SBMPTN 2014

Jika $m$ dan $n$ bilangan real dan fungsi $f(x)=mx^3+2x^2-nx+5$ memenuhi $f'(1)=f'(-5)=0$, maka $3m-n=...$

Pembahasan
$f(x)=mx^3+2x^2-nx+5$
$f'(x)=3mx^2+4x-n$
$x=1\rightarrow f'(1)=3m+4-n=0\Leftrightarrow 3m-n=-4$

SIMAK UI 2011
Diketahui fungsi $f$ dan $g$ dengan $f'(2)=3$ dan $g'(2)=4$. Jika pada saat $x=2$, turunan dari $(f.g)(x)$ adalah 11 dan turunan dari $f^2+g^2)(x)$ adalah 20, maka turunan dari $\frac{f}{g}(x)$ saat $x=2$ adalah ...

Pembahasan
$(f.9)'(x)=f'(x).g(x)+f(x).g'(x)$
saat $x=2$ maka $(f.9)'(2)=f'(2).g(2)+f(2).g'(2)$
                      $11=3g(x)+4f(x)...(i)$
Misalkan $h(x)=f^2(x)+g^2(x)$, maka
          $h'(x)=2f(x).f'(x)+2g(x)g'(x)$
          $h'(2)=2f(2).f'(2)+2g(2)g'(2)$
          $20=2f(x).3+2g(x).4$
          $10=3f(x)+4g(x)...(ii)$
Berdasarkan $(i)$ dan $(ii)$ dengan menggunakan konsep sistem persamaan linier dua variabel, maka dapat diperoleh $g(2)=1$ dan $f(2)=2$. Jadi
$p(x)=\left ( \frac{f}{g} \right )(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$
$p'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$
$p'(2)=\frac{f'(2)g(2)-f(2)g'(2)}{(g(2))^2}$
$p'(x)=\frac{3.1-2.4}{(1)^2}=-5$

UM UGM 2018
Fungsi $f(x)=-cos2x+\sqrt{3}sin2x+1,\ 0\leq x\leq \pi$, mencapai ekstrim pada saat $x=x_1$ dan $x=x_2$. Nilai dari $x_1+x_2$ adalah ...

Pembahasan
Mencapai ekstrim saat turunan pertama sama dengan 0, maka

$f'(x)=0$
$2sin2x+2\sqrt{3}cos2x=0$
$2sin2x=-2\sqrt{3}cos2x$
$\frac{sin2x}{cos2x}=\frac{-2\sqrt{3}}{2}$
$tan2x=-\sqrt{3}\Rightarrow 2x={120^o,300^o}$

Maka di dapat:
⃝ $2x_1=120^o\Leftrightarrow x_1=60^o$
⃝ $2x_2=300^o\Leftrightarrow x_2=150^o$
$x_1+x_2=60^o+150^o=210^o$
Lihat juga: Materi Turunan,  Soal UN Turunan

UTS KELAS VIII SEMESTER 2 2017-2018

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA

Logaritma dengan bilangan pokok atau basis $a$ dapat dinyatakan sebagai $^alog\ y=x\Leftrightarrow y=a^x$; dimana $a>0$ dan $a\neq 1,\ y>0$.

Persamaan Logaritma
1. $^alog\ x=^alog\ y\Leftrightarrow x=y$
Dengan syarat $a>0,a\neq 1,x>0,\ dan\ y>0$
2. $^alog\ f(x)=c\Rightarrow  f(x)=a^c$
Dengan syarat $a>0,a\neq 1,\ dan\ f(x)>0$
3. $^alog\ f(x)=^alog\ g(x)\Rightarrow; f(x)=g(x)$
Dengan syarat $a>0,a\neq 1,f(x)>0,\ dan\ g(x)>0$
4. $^alog\ f(x)=^blog\ f(x)\Rightarrow f(x)=1$
Dengan syarat $a>0,a\neq 1,b>0,b\neq 1,a\neq b,\ dan\ f(x)>0$
5. $^{g(x)}log\ f(x)=c\Rightarrow f(x)=g(x)^c$
Dengan syarat $g(x)>0,g(x)\neq 1,\ dan\ f(x)>0$
6. $^{f(x)}log\ g(x)=^{f(x)}log\ h(x)\Rightarrow g(x)=h(x)$
Dengan syarat $f(x)\neq 1,f(x)>0,g(x)>0,\ dan\ h(x)>0$
7. $^{f(x)}log\ h(x)=^{g(x)}log\ h(x)\Rightarrow 1. f(x)=g(x);\ dan\ 2. h(x)=1$
Dengan syarat $h(x)>0,f(x)\neq 1,f(x)>0,g(x)\neq 1,\ dan\ g(x)>0$
6. $a(^plog\ x)^2+b(^plog\ x)+c=0$ dengan memisalkan $^plog\ x=y$ maka
    $a(^plog\ x)^2+b(^plog\ x)+c=0\Leftrightarrow ay^2+by+c=0$ [selesaikan dengan persamaan kuadrat]
    ❤ Trik: $x_1.x_2=p^{\frac{-b}{a}}$ ❤

Contoh Soal

1. Selesaikan $^4log\ (3x+1)=2$

Pembahasan
$^4log\ (3x+1)=2\Rightarrow (3x+1)=4^2$

$(3x+1)=16$

$3x=15\Leftrightarrow x=5$

2. Akar-akar persamaan $10.^9log^2x-5.^9logx-1=0$, adalah $x_1$ dan $x_2$. Nilai dari $x_1.x_2$ adalah ...
Pembahasan

$x_1.x_2=p^{\frac{-b}{a}}$

$x_1.x_2=9^{\frac{-(-5)}{10}}=9^{\frac{1}{2}}=3$

3. Himpunan penyelesaian dari $^2log^2x+2.^2logx-3=0$ adalah ...

Pembahasan

Misalkan $^2logx=y$, maka $^2log^2x+2.^2logx-3=0\Leftrightarrow y^2+2y-3=0$

$(y-1)(y+3)=0$

$y=1\ atau\ y=-3$

೦ $y=1\Leftrightarrow\ ^2logx=1\Leftrightarrow x=2^1=2$

೦ $y=-3\Leftrightarrow\ ^2logx=-3\Leftrightarrow x=2^{-3}=\frac{1}{8}$
Maka himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ 2, \frac{1}{8}\right \}$

4. Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $^alog\ (x+13)=^alog\ 6$

Pembahasan

$^alog\ (x+13)=^alog\ 6\Leftrightarrow x+13=6$

$\Leftrightarrow x=6-13=-7$

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan $^alog\ (x+13)=^alog\ 6$ adalah -7

5. Tentukan nilai $x$ agar persamaan $^{x+1}log\ (x^2+1)=^{x^2-5}log\ (x^2+1)$ bernilai benar 

Pembahasan
Solusi pertama:
$^{x+1}log\ (x^2+1)=^{x^2-5}log\ (x^2+1)\Leftrightarrow x+1=x^2-5$
$\Leftrightarrow 0=x^2-x-5-1$
$\Leftrightarrow 0=x^2-x-6$
$\Leftrightarrow 0=(x+2)(x-3)$
$0=x+2\ atau\ 0=x-3$
$x=-2\ atau\ x=3$
Periksa syarat untuk $x=-2$ dan $x=3$
untuk $x=-2$:
$x^2+1=(-2)^2+1=4+1=5>0$ memenuhi
$x+1=(-2)+1=-1<0$ tidak memenuhi
$x^2-5=(-2)^2-5=4-5=-1<0$ tidak memenuhi
untuk $x=3$:
$x^2+1=(3)^2+1=9+1=10>0$ memenuhi
$x+1=(3)+1=4>0$ memenuhi
$x^2-5=(3)^2-5=9-5=4>0$ memenuhi
Ini berarti, nilai $x=3$ merupakan solusi

solusi kedua:
$^{x+1}log\ (x^2+1)=^{x^2-5}log\ (x^2+1)\Leftrightarrow x^2+1=1$
$\Leftrightarrow x^2=0$
$\Leftrightarrow x=0$
Periksa syarat untuk $x=0$
$x^2+1=(0)^2+1=0+1=1>0$ memenuhi
$x+1=0+1=1>0$ memenuhi
$x^2-5=0^2-5=-5<0$ tidak memenuhi
Ini berarti, nilai $x=0$ bukan solusi
Jadi, nilai $x$ agar persamaan $^{x+1}log\ (x^2+1)=^{x^2-5}log\ (x^2+1)$ bernilai benar adalah 3

Pertidaksamaan Logaritma
a. untuk $a>1$
1. $^alog\ f(x)\geq\ ^alog\ g(x)\Rightarrow f(x)\geq g(x)$
2. $^alog\ f(x)\leq\ ^alog\ g(x)\Rightarrow f(x)\leq g(x)$
b. untuk $0<a<1$
1. $^alog\ f(x)\geq\ ^alog\ g(x)\Rightarrow f(x)\leq g(x)$
2. $^alog\ f(x)\leq\ ^alog\ g(x)\Rightarrow f(x)\geq g(x)$
dengan syarat $f(x)>0$ dan $g(x)>0$

Contoh Soal

1. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $^2log^2x+2.^2log2x>2$ adalah ...

Pembahasan

$^2log^2x+2.^2log2x>2$

$^2log^2x+2(^2log2+^2logx)>2$

$^2log^2x+2(1+^2logx)>2$

$^2log^2x+2+2^2logx>2$

$^2log^2x+2^2logx>0$

$^2logx=y$

$y^2+2y>0$

$y(y+2)>0$

$y=0\ atau\ y=-2$

Maka $y<-2$ atau $y>0$

օ $y=0\Leftrightarrow ^2logx=0\Leftrightarrow x=2^0=1$
օ $y=-2\Leftrightarrow ^2logx=-2\Leftrightarrow x=2^{(-2)}=\frac{1}{4}$
Maka $x<\frac{1}{4}\ atau\ x>1$
Syarat:
1. $x>0$,
2. $2x>0\Leftrightarrow x>0$
Maka himpunan penyelesaiannya adalah $0<x<\frac{1}{4}\ atau\ x>1$

2. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma $^{\frac{1}{2}}log(14-x)-^{\frac{1}{2}}log(x-5)\geq\  ^{\frac{1}{2}}log(x+2)$ adalah ...

Pembahasan

$^{\frac{1}{2}}log(14-x)-^{\frac{1}{2}}log(x-5)\geq ^{\frac{1}{2}}log(x+2)$

$^{\frac{1}{2}}log(14-x)(x-5)\geq\ ^{\frac{1}{2}}log(x+2)$

$^{\frac{1}{2}}log(-x^2+19x-70)\geq\ ^{\frac{1}{2}}log(x+2)$

$-x^2+19x-70\leq x+2$

$x^2-19x+70\geq  -x-2$

$x^2-18x+72\geq 0$

$(x-14)(x-5)\geq 0$

$x=14\ atau\ x=5$

$Maka\ x\leq 5\ atau\ x\geq 14$

Syarat:
1. $14-x>0\Leftrightarrow x< 14$
2. $x-5>0\Leftrightarrow x>5$
3. $x+2>0\Leftrightarrow x>-2$

Maka himpunan penyelesaiannya adalah irisan dari $maka\ x\leq 5\ atau\ x\geq 14$ dan syarat. Maka himpunannya adalah $5<x\leq 6\ atau\ 12\leq x< 14$

Lihat juga: Soal-Soal UN Logaritma

Menyelesaikan Persamaan Trigonometri

❤ Persamaan trigonometri sederhana bentuk $f(x)=c$, tentukan dulu sudut yang menghasilkan perbandingan trigonometri pada ruas kanan dengan cara:

〉Jika $sin\ x=sin\ \alpha$, maka
     a. $x=\alpha +k.360^o$
     b. $x=(180^o-\alpha )+K.360^o$
〉Jika $cos\ x=cos\ \alpha$, maka
     a. $x=\alpha +k.360^o$
     b. $x=-\alpha +k.360^o$
〉Jika $tan\ x=tan\ \alpha$, maka
     a. $x=\alpha +k.180^o$
dimana $k=...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...$

Contoh Soal
1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan $2sin\ x=1$ untuk $0^o\leq x\leq 360^o$.
Pembahasan

$2sin\ x=1$

$sin\ x=\frac{1}{2}$

$sin\ x=sin\ 30^o\Leftrightarrow \alpha =30^o$

a. $x=\alpha +k.360^o$
    $x=30^o+k.360^o$
》$k=-1\rightarrow x=30^o+(-1).360^o=-330^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]
》$k=0\rightarrow x=30^o+0.360^o=30^o$ [memenuhi]
》$k=1\rightarrow x=30^o+1.360^o=390^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]
b. $x=(180^o-\alpha )+k.360^o$
    $x=(180^o-\alpha )+k.360^o$
    $x=(180^o-30^o )+k.360^o$
    $x=150^o+k.360^o$
》$k=-1\rightarrow x=150^o+(-1).360^o=-210^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]
》$k=0\rightarrow x=150^o+(0).360^o=150^o$ [memenuhi]
》$k=1\rightarrow x=150^o+1.360^o=510^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]
Maka himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ 30^o,150^o\right \}$

2. Himpunan penyelesaian dari persamaan $2cos\ (2x-60^o)-1=0$ untuk $0^o\leq x\leq 180^o$ adalah ...
Pembahasan

$2cos\ (2x-60^o)-1=0$

$2cos\ (2x-60^o)=1$

$cos\ (2x-60^o)=\frac{1}{2}$

$cos\ (2x-60^o)=cos\ 60^o\Leftrightarrow \alpha =60^o$

a. $2x-60^o=\alpha +k.360^o$

    $2x-60^o=60^o +k.360^o$

    $2x=120^o +k.360^o$
    $x=60^o +k.180^o$
》$k=-1\rightarrow x=60^o +(-1).180^o=-120^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]
》$k=0\rightarrow x=60^o +0.180^o=60^o$ [memenuhi]
》$k=1\rightarrow x=60^o +1.180^o=240^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]
b. $2x-60^o=-\alpha +k.360^o$
    $2x-60^o=-60^o +k.360^o$
    $2x=k.360^o$
    $x=k.180^o$
》$k=-1\rightarrow x=(-1).180^o=-180^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]
》$k=0\rightarrow x=0.180^o=0^o$ [memenuhi]
》$k=1\rightarrow x=1.180^o=180^o$ [memenuhi]
Maka himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ 0^o,60^o,180^o \right \}$

❤ Persamaan trigonometri dalam bentuk $Acos\ x+Bsin\ x=c$.

$Acos\ x+Bsin\ x=c\Leftrightarrow Kcos(x-\beta )=c$

Dimana $K=\sqrt{A^2+B^2}$ dan $\beta =arc\ tan\ \frac{B}{A}$
Pembuktian
$Acos\ x+Bsin\ x=Kcos(x-\beta )$
                         $=K(cos\ x.cos\ \beta+sin\ x.sin\ \beta )$
                         $=K.cos\ x.cos\ \beta+K.sin\ x.sin\ \beta$
                         $=K.cos\ \beta.cos\ x+K.sin\ \beta.sin\ x$
Maka
$K.cos\ \beta=A\Leftrightarrow K^2.cos^2\ \beta=A^2$ .... [1]
$K.sin\ \beta=B\Leftrightarrow K^2.sin^2\ \beta=B^2$ .... [2]
Jumlahkan persamaan [1] dan [2], maka

$K^2.cos^2\ \beta+K^2.sin^2\ \beta=A^2+B^2$

$K^2(cos^2\ \beta+sin^2\ \beta)=A^2+B^2$

$K^2=A^2+B^2 \Leftrightarrow K=\sqrt{A^2+B^2}$

Jika $K.sin\ \beta=B$ dibagi dengan $K.cos\ \beta=A$, maka

$\frac{K.sin\ \beta }{K.cos\ \beta}=\frac{B}{A}$

$tan\ \beta =\frac{B}{A}\Leftrightarrow \beta =arc\ tan\ \frac{B}{A}$

Contoh Soal
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $cos\ x-sin\ x=1$, jika $0^o\leq x\leq 360^o$
Pembahasan

$cos\ x-sin\ x=1\Leftrightarrow Kcos(x-\beta )=1$

$K=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$

$\beta=arc\ tan\ \frac{-1}{1}$

$\beta=arc\ tan\ (-1)\Leftrightarrow \beta =-45^o$

Maka $cos\ x-sin\ x=1\Leftrightarrow \sqrt{2}cos(x+45^o )=1$

$\sqrt{2}cos(x+45^o )=1$
$cos(x+45^o )=\frac{1}{\sqrt{2}}$
$cos(x+45^o )=\frac{1}{2}\sqrt{2}$
$cos(x+45^o )=cos\ 45^o\Leftrightarrow \alpha =45^o$

a. $x+45^o=\alpha +k.360^o$

    $x+45^o=45^o +k.360^o$

    $x=k.360^o$

》$k=-1\rightarrow x=(-1).360^o=-360^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]

》$k=0\rightarrow x=0.360^o=0^o$ [memenuhi]

》$k=1\rightarrow x=1.360^o=360^o$ [memenuhi] 

b. $x+45^o=-\alpha +k.360^o$

    $x+45^o=-45^o +k.360^o$

    $x=-90^o +k.360^o$

》$k=-1\rightarrow x=-90^o +(-1).360^o=-450^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]

》$k=0\rightarrow x=-90^o +0.360^o=-90^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]

》$k=1\rightarrow x=-90^o +1.360^o=270^o$ [memenuhi]

Maka himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ 0^o,270^o,360^o \right \}$