Pembahasan Soal SBMPTN Vektor [1]

SBMPTN 2017

Diketahui vektor-vektor $\vec{a},\vec{b}$, dan $\vec{c}$ dengan $\vec{b}=(-2,1), \vec{b}\perp \vec{c}$ dan $\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}=0$. Jika $\left | \vec{a} \right |=5$ dan sudut antara $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ adalah $\alpha$, maka luas segitiga yang dibentuk ujung-ujung vektor $\vec{a}, \vec{b}$, dan $\vec{c}$ adalah ...

Pembahasan
$\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}=0$
$\vec{a}=\vec{b}+\vec{c}$
$\vec{b}.\vec{a}=\vec{b}.\vec{b}+\vec{b}.\vec{c}$
$\vec{b}.\vec{a}=(-2,1).(-2,1)+0$
$\vec{b}.\vec{a}=4+1=5$

       $\vec{a}.\vec{a}=\vec{a}.\vec{b}+\vec{a}.\vec{c}$
       $\left | \vec{a} \right |^2=\vec{b}.\vec{a}+\vec{a}.\vec{c}$
       $25=5+\vec{a}.\vec{c}$
       $20=\vec{a}.\vec{c}$
$\vec{c}$ adalah proyeksi vektor $\vec{a}$ pada $\vec{c}$, maka
 $|\vec{c}|=\frac{\vec{a}.\vec{c}}{|\vec{c}|}$
 $|\vec{c}|^2=\vec{a}.\vec{c}$
 $|\vec{c}|^2=20$
 $|\vec{c}|=2\sqrt{5}$
 $L\Delta =\frac{1}{2}|\vec{b}|.|\vec{c}|=\frac{1}{2}.\sqrt{5}.2\sqrt{5}=5$

Vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ membentuk sudut tumpul $\alpha$ dengan $sin\ \alpha =\frac{1}{\sqrt{7}}$. Jika $|\vec{a}|=\sqrt{5}$ dan $|\vec{b}|=\sqrt{7}$ dan $\vec{b}=\vec{a}+\vec{c}$, maka $\vec{a}.\vec{c}=...$

Pembahasan
$sin\ \alpha =\frac{1}{\sqrt{7}}\rightarrow cos\ \alpha = \frac{-\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$, [gunakan segitiga]
    $\vec{b}=\vec{a}+\vec{c}$
    $\vec{b}-\vec{a}=\vec{c}$
    $\vec{a}.\vec{b}-\vec{a}.\vec{a}=\vec{a}.\vec{c}$
    $|\vec{a}|.|\vec{b}|.cos\ \alpha -|\vec{a}|^2=\vec{a}.\vec{c}$
    $\sqrt{5}.\sqrt{7}.\frac{-\sqrt{6}}{\sqrt{7}}-(\sqrt{5})^2=\vec{a}.\vec{c}$
    $-\sqrt{30}-5=\vec{a}.\vec{c}$

Diketahui vektor $\vec{a}=(4,6),\ \vec{b}=(3,4)$, dan $\vec{c}=(p,0)$. Jika $|\vec{c}-\vec{a}|=10$, maka cosinus sudut antara $\vec{b}$ dan $\vec{c}$ adalah ...

Pembahasan
$|\vec{c}-\vec{a}|=\sqrt{|\vec{c}|^2+|\vec{a}|^2-2.\vec{a}.\vec{c}}$
$10=\sqrt{p^2+(4^2+6^2)-2.4.p}$
$100=p^2+52-8p$
$p^2-8p-48=0$
$(p+4)(p-12)=0$
$p=-4\ atau\ p=12$
♣ Untuk $p=-4$
      $\vec{b}.\vec{c}=|\vec{b}|.|\vec{c}|cos\ \alpha$
      $3.(-4)+4.0=5.4cos\ \alpha\Leftrightarrow cos\ \alpha=-\frac{3}{5}$
♣ Untuk $p=12$
     $\vec{b}.\vec{c}=|\vec{b}|.|\vec{c}|cos\ \alpha$
     $3.12+4.0=5.12cos\ \alpha\Leftrightarrow cos\ \alpha=\frac{3}{5}$

Diketahui tiga vektor  $\vec{a},\vec{b}$, dan $\vec{c}$ dengan $|\vec{b}|=3,\ |\vec{c}|=4$, dan $\vec{a}=\vec{c}-\vec{b}$. Jika $\gamma$ adalah sudut antara vektor $\vec{a}.\vec{a}=25$, maka $sin\ \gamma=...$

Pembahasan
$\vec{a}=\vec{c}-\vec{b}$
$\vec{b}=\vec{c}-\vec{a}$
$\vec{b}.\vec{c}=\vec{c}.\vec{c}-\vec{a}.\vec{c}=|\vec{c}|^2-25=16-25=-9$
    $\vec{b}.\vec{c}=|\vec{b}|.|\vec{b}|cos\ \gamma$
    $-9=3.4.cos\ \gamma$
    $\frac{-3}{4}=cos\ \gamma\rightarrow sin\ \gamma=\frac{\sqrt{7}}{4}$

Pembahasan Soal SBMPTN Integral [1]

SBMPTN 2018
Nilai $\int_{1}^{36}{\frac{3}{\sqrt{x}(3+\sqrt{x})^{\frac{3}{2}}}}dx$ adalah ...

Pembahasan
Misalkan:
$\int_{1}^{36}{\frac{3}{\sqrt{x}(3+\sqrt{x})^{\frac{3}{2}}}}dx$
$u=3+\sqrt{x}\Leftrightarrow \frac{du}{dx}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\Leftrightarrow du=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx$
Untuk menyederhanakan perhitungan, kita ubah batasnya
untuk batas bawah $x=1\Rightarrow u=3+\sqrt{1}=4$
untuk batas atas $x=36\Rightarrow u=3+\sqrt{36}=9$
   $=\int_{1}^{36}{\frac{3}{\sqrt{x}(3+\sqrt{x})^{\frac{3}{2}}}}dx$
   $=\int_{1}^{36}{\frac{6}{(3+\sqrt{x})^{\frac{3}{2}}}}\frac{1}{2\sqrt{x}}dx$
   $=\int_{4}^{9}{\frac{3}{u^{\frac{3}{2}}}}du$
   $=\int_{4}^{9}6u^{-\frac{3}{2}}du$
   $=\left [ \frac{6}{-\frac{1}{2}}u^{-\frac{3}{2}} \right ]\begin{matrix}9\\\\4\end{matrix}$
   $=-12\left [ \frac{1}{\sqrt{9}}- \frac{1}{\sqrt{4}}\right ]$
   $=-12\left ( \frac{1}{3}-\frac{1}{2} \right )$
   $=-4+6=2$

SBMPTN 2018

Daerah $R$ dibatasi oleh $y=\sqrt{x},\ y=-x+6$ dan sumbu-x. Volume benda padat yang di dapat dengan memutar $R$ terhadap sumbu-x adalah ...

Pembahasan
Kalau di gambar, kedua fungsi berikut menjadi

Titik $A$ adalah titik potong kedua grafik, maka

$\sqrt{x}=-x+6$

$x=x^2-12x+36$

$x^2-13x+36=0$

$(x-9)(x-4)=0\rightarrow x=9\ atau\ x=4$ pilih $x=4$

Karena benda putar, maka volumenya adalah
$V=\pi \int_{0}^{4}\left ( \sqrt{x} \right )^2dx+\pi \int_{4}^{6}(-x+6)^2dx$
    $=\pi\left [\frac{1}{2}x^2 \right ]\begin{matrix}4\\ 0\end{matrix}+\left [\frac{1}{3}(-x+6) \right ]\begin{matrix}6\\ 4\end{matrix}$
    $=8\pi +\frac{8}{3}\pi =\frac{32}{3}\pi$ satuan luas

Jika $f(x)=\int_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}}6t^2dt$ maka $f'(x)=18$ untuk $x=...$

Pembahasan
$g(t)=6t^2$ merupakan fungsi genap, karena $g(-t)=6(-t)^2=6t^2=g(t)$. Maka
$f(x)=\int_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}}6t^2dt=2\int_{0}^{\sqrt{x}}6t^2dt=\left [ 4t^3 \right ]\begin{matrix}{\sqrt{x}}\\ 0\end{matrix}=4t^{\frac{3}{2}}$

$f'(x)=4.\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$

$18=6\sqrt{x}$

$3=\sqrt{x}\Leftrightarrow x=9$

Jika nilai $\int_{b}^{a}f(x)dx=5$ dan $\int_{c}^{a}f(x)dx=0$, maka $\int_{c}^{b}f(x)dx=...$

Pembahasan

$\int_{b}^{a}f(x)dx=5\Rightarrow \int_{a}^{b}f(x)dx=-5$
$\int_{c}^{a}f(x)dx=0\Rightarrow \int_{a}^{c}f(x)dx=-0\Leftrightarrow \int_{a}^{c}f(x)dx=0$
Jadi $\int_{a}^{c}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{b}^{c}f(x)dx$
               $0=-5+\int_{b}^{c}f(x)dx$
               $5=\int_{b}^{c}f(x)dx\Leftrightarrow \int_{c}^{b}f(x)dx=-5$

SIFAT-SIFAT DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS

DETERMINAN MATRIKS

Misalkan matriks $A$ dengan orde $2\times 2,\  A=\left ( \begin{matrix}a & b\\ c & d\end{matrix} \right )$. Maka determinan dari matriks $A$ adalah $det\ (A)=|A|=a.d-b.c$. Untuk determinan matriks orde $3\times 3$ dan yang lainnya akan dijelaskan pada artikel lain.

Sifat-sifat determinan matriks adalah sebagai berikut:
1. $|A|=det(A)$
2. $|A^t|=|A|$, dimana $A^t$ adalah tranpose dari matriks $A$.
3. $|A.B|=|A|.|B|$, dimana $A$ dan $B$ adalah matriks. Sifat ini dapat diperumum misalkan tiga matriks $|A.B.C|=|A|.|B|.|C|$ atau lebih dari tiga matriks.
4. $|A^n|=|A|^n$
5. $|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$
6. $|bA_{m\times m}|=b^m|A|$ dimana $b$ adalah koefisien dan $m\times m$ adalah orde dari matriks $A$.

Contoh soal.
1. Diberikan matriks $A=\left ( \begin{matrix}4 & 3\\ 5 & 2\end{matrix} \right )$. Tentukan determinan dari matriks $A$.
Pembahasan
Determinan dari matriks $A$ adalah $det\ (A)=|A|=4.2-3.5=8-15=-7$

2. Jika $A=\left ( \begin{matrix}-1 & -4\\ 7 & 1\end{matrix} \right)\, B=\left ( \begin{matrix}4 & 1\\ 5 & 2\end{matrix} \right )$  dan $A+3C^t=2B$, maka nilai $det(C)=...$
Pembahasan

$A+3C^t=2B$
$3C^t=2B-A$
$3C^t=2\left ( \begin{matrix}4 & 1\\ 5 & 2\end{matrix} \right )-\left ( \begin{matrix}-1 & -4\\ 7 & 1\end{matrix} \right)$
$3C^t=\left ( \begin{matrix}-1 & -4\\ 7 & 1\end{matrix} \right)-\left ( \begin{matrix}-1 & -4\\ 7 & 1\end{matrix} \right)$
$3C^t=\left ( \begin{matrix}9 & 6\\ 3 & 3\end{matrix} \right)$
$3^2det(C^t)=27-18$
$9\ det(C)=9\Leftrightarrow det(C)=1$

INVERS MATRIKS

Invers dari matriks $A$ adalah $A^{-1}$. Misalkan matriks $A$ dengan orde $2\times 2,\  A=\left ( \begin{matrix}a & b\\ c & d\end{matrix} \right )$. Maka $A^{-1}=\frac{1}{|A|}\left ( \begin{matrix}d & -b\\ -c & a\end{matrix} \right )$. Untuk invers matriks orde $3\times 3$ dan yang lainnya akan dijelaskan pada artikel lain.

Sifat-sifat invers matriks adalah sebagai berikut:

1. $(A^{-1})^{-1}=A$

2. $A^{-1}.A=A.A^{-1}=I$

3. $AB=I$ artinya $A$ dan $B$ saling invers yaitu $A^{-1}=B$ dan $B^{-1}=A$

4. $(AB)^{-1}=B^{-1}.A^{-1}$

5. $AB=C\Rightarrow A=C.B^{-1}\ atau\ B=A^{-1}.C$

Contoh soal.
1. Diberikan matriks $A=\left ( \begin{matrix}4 & 3\\ 5 & 2\end{matrix} \right )$. Tentukan invers dari matriks $A$.
Pembahasan
$det\ (A)=|A|=4.2-3.5=8-15=-7$.
Invers dari matriks $A$ adalah $A^{-1}=\frac{1}{|A|}\left ( \begin{matrix}2 & -3\\ -5 & 4\end{matrix} \right )=\frac{1}{-7}\left ( \begin{matrix}2 & -3\\ -5 & 4\end{matrix} \right )=\left ( \begin{matrix}-2/7 & 3/7\\ 5/7 & -4/7\end{matrix} \right )$

2. Diketahui matriks $A=\left ( \begin{matrix}-2 & -5\\ 1 & 3\end{matrix} \right),\ C=\left ( \begin{matrix}4 & 6\\ 3 & 5\end{matrix} \right )$ Jika $B$ memenuhi $A.B=C$, maka $det(2B^{-1})$ adalah ...
Pembahasan
Dalam hal ini, kita menggunakan sifat-sifat dari determinan dan invers.

$A.B=C$
$det(A.B)=det(C)$
$det(A).det(B)=det(C)$
$(-2.3-(-5).1).det(B)=4.5-6.3$
$-1.det(B)=2\Leftrightarrow det(B)=-2$

$det(2.B^{-1})=2^2.det(B^{-1})$
                   $=4.\frac{1}{det(B)}$
                   $=4. \frac{1}{-2}=-2$

SUDUT DUA BUAH LINGKARAN

Sudut dua buah lingkaran didefinisikan sebagai sudut yang dibentuk oleh garis-garis singgung pada kedua lingkaran itu di titik potongnya. Misalkan di ketahui:
$L_1:x^2+y^2+A_1x+B_1y+C_1=0$
$L_2:x^2+y^2+A_2x+B_2y+C_2=0$
Lingkaran $L_1$ dan $L_2$ berpotongan di titik $P$ dan masing-masing mempunyai garis singgung $g_1$ dan $g_2$ seperti gambar di bawah. Sudut antara lingkaran $L_1$ dan $L_2$ adalah $\alpha$.

Berdasarkan gambar di atas, maka:

$\angle L_2PL_1=\angle L_2PB+\angle BPL_1=90^o+\angle BPL_1$
$\angle CPB=\angle CPL_1+\angle BPL_1=90^o+\angle BPL_1$
$\angle L_2PL_1=\angle CPB$

Jadi $\alpha =180^o-\angle CPB=180^o-\angle L_2PL_1$

Kedua lingkaran itu akan berpotongan tegak lurus apabila garis-garis singgung berimpit dengan jari-jari kedua lingkaran. Lihat gambar di bawah ini.

Dari gambar di atas, terlihat bahwa $r_1\perp r_2$, sehingga $\Delta L_1PL_2$ adalah segitiga siku-siku di $P$. Diketahui $L_1\left ( -\frac{1}{2}A_1,-\frac{1}{2}B_1 \right ), L_2\left ( -\frac{1}{2}A_2,-\frac{1}{2}B_2 \right ), r_1=\sqrt{\frac{1}{4}(A_1)^2+\frac{1}{4}(B_1)^2-C_1}$ dan $r_2=\sqrt{\frac{1}{4}(A_2)^2+\frac{1}{4}(B_2)^2-C_2}$.
Sehingga berlaku
$(L_1L_2)^2=(r_1)^2+(r_2)^2$
$\left ( -\frac{1}{2}A_2-(-\frac{1}{2}A_1) \right )^2+\left ( -\frac{1}{2}B_2-(-\frac{1}{2}B_1) \right )^2=\frac{1}{4}(A_1)^2+\frac{1}{4}(B_1)^2-C_1+\frac{1}{4}(A_2)^2+\frac{1}{4}(B_2)^2-C_2$
$\frac{1}{4}(A_2-A_1)^2+\frac{1}{4}(B_2-B_1)^2=\frac{1}{4}((A_1)^2+(B_1)^2-4C_1)+\frac{1}{4}((A_2)^2+(B_2)^2-4C_2)$
$(A_2-A_1)^2+(B_2-B_1)^2=(A_1)^2+(B_1)^2-4C_1+(A_2)^2+(B_2)^2-4C_2$
$(A_2)^2-2A_1A_2+(A_1)^2+(B_2)^2-2B_1B_2+(B_1)^2=(A_1)^2+(B_1)^2-4C_1+(A_2)^2+(B_2)^2-4C_2$
$-2A_1A_2-2B_1B_2=4C_1-4C_2$
$A_1A_2+B_1B_2=2C_1+2C_2$

Jika diketahui lingkaran:
$L_1:x^2+y^2+A_1x+B_1y+C_1=0$
$L_2:x^2+y^2+A_2x+B_2y+C_2=0$
maka, kedua lingkaran tersebut tegak lurus jika $A_1A_2+B_1B_2=2C_1+2C_2$

Lihat juga: Materi Lingkaran, UN Lingkaran

TRANSFORMASI [PENCERMINAN/REFLEKSI]

Pencerminan/Refleksi adalah transformasi yang memindahkan titik atau bangun dengan menggunakan sifat pembentukan bayangan oleh sebuah cermin.

Ingat!

Jika suatu transformasi dapat disajikan sebagai matriks  $M=\begin{bmatrix}a & b\\ c & d\end{bmatrix}$, maka $(x,y)\xrightarrow[]{M}(x',y')$ dengan $\begin{bmatrix}x'\\y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a & b\\ c & d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$

Rumus-rumus refleksi
❤ Refleksi terhadap sumbu-x
$(x,y)\xrightarrow[]{ref\ sumbu-x}(x,-y)$
Matriks pencerminan terhadap sumbu-x adalah $M=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{bmatrix}$
❤ Refleksi terhadap sumbu-y
$(x,y)\xrightarrow[]{ref\ sumbu-y}(-x,y)$
Matriks pencerminan terhadap sumbu-y adalah $M=\begin{bmatrix}-1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}$
❤ Refleksi terhadap garis $y=x$
$(x,y)\xrightarrow[]{ref\ garis\ y=x}(y,x)$
Matriks pencerminan terhadap garis $y=x$ adalah $M=\begin{bmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{bmatrix}$
❤ Refleksi terhadap garis $y=-x$
$(x,y)\xrightarrow[]{ref\ garis\ y=-x}(-y,-x)$
Matriks pencerminan terhadap garis $y=-x$ adalah $M=\begin{bmatrix}0 & -1\\-1&0\end{bmatrix}$
❤ Refleksi terhadap titik asal $(0,0)$
$(x,y)\xrightarrow[]{ref\ titik\ asal}(-x,-y)$
Matriks pencerminan terhadap titik asal adalah $M=\begin{bmatrix}-1 & 0\\ 0 & -1\end{bmatrix}$
❤ Refleksi terhadap garis $x=k$
$(x,y)\xrightarrow[]{ref\ garis\ x=k}(2k-x,y)$
Matriks pencerminan terhadap garis $x=k$ adalah $\begin{bmatrix}x'\\y' \end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x-k\\y\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}k\\0 \end{bmatrix}$
❤ Refleksi terhadap garis $y=k$
$(x,y)\xrightarrow[]{ref\ garis\ y=k}(x,2k-y)$
Matriks pencerminan terhadap garis $y=k$ adalah $\begin{bmatrix}x'\\y' \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y-k\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\k \end{bmatrix}$
❤ Refleksi terhadap garis $y=x+k$
$(x,y)\xrightarrow[]{ref\ garis\ y=x+k}(y-k,x+k)$
Matriks pencerminan terhadap garis $y=x+k$ adalah $\begin{bmatrix}x'\\y' \end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y-k\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\k \end{bmatrix}$
❤ Refleksi terhadap garis $y=-x+k$
$(x,y)\xrightarrow[]{ref\ garis\ y=-x+k}(-y+k,-x+k)$
Matriks pencerminan terhadap garis $y=-x+k$ adalah $\begin{bmatrix}x'\\y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & -1\\ -1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y-k\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\k \end{bmatrix}$
❤ Refleksi terhadap garis $y=mx$, dimana $m=tan\ \alpha$
Matriks pencerminan adalah $\begin{bmatrix}x'\\y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}cos\ 2\alpha  & sin\ 2\alpha\\ sin\ 2\alpha & -cos\ 2\alpha\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$

CONTOH SOAL
1. Hasil pencerminan titik $A(3,2)$ terhadap garis $y=-x$ adalah ...
Pembahasan
Berdasarkan rumus di atas maka $(3,2)\xrightarrow[]{ref\ garis\ y=-x}(-2,-3)$ atau kalau kita menggunakan matriks tranformasi jadinya $\begin{bmatrix}x'\\y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0  & -1\\ -1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2\\-3\end{bmatrix}$
Jadi Hasil pencerminan titik $A(3,2)$ terhadap garis $y=-x$ adalah $A'(-2,-3)$
2. Hasil pencerminan garis $y=x+3$ terhadap garis $y=2$ adalah ...
Pembahasan
Misalkan kita ambil sebarang titik $(x,y)$ yang berada pada garis $y=x+3$. Maka sesuai rumus trasformasi di atas $(x,y)\xrightarrow[]{ref\ garis\ y=2}(x,4-y)$, dimana $(x',y')=(x,4-y)$. $x'=x$ dan $y'=4-y\leftrightarrow y=4-y'$.
Substitusi  $x'=x$ dan $y=4-y'$ ke persamaan $y=x+3$. Maka diperoleh $y=x+3\Leftrightarrow 4-y'=x'+3\Leftrightarrow -y'=x'-1\Leftrightarrow y'=1-x'$. Dengan menghilangkan aksennya merupakan hasil dari perncerminan terhadap garis $y=2$ yaitu $y=1-x$.
Cara seperti ini juga berlaku jika yang dicerminkan adalah lingkaran maupun elips.

Lihat juga materi barisan dan deret, dimensi tiga, integral, limit, lingkaran