Perbedaan Integral Tentu dan Integral Tak Tentu

Integral Tak Tentu [Anti Turunan]

Konsep integral tak tentu diperkenalkan sebagai kebalikan operasi pendiferensialan, yaitu bentuk yang paling umum dari anti turunan. Notasi yang digunakan dalam anti turunan ini dikenalkan oleh Leibniz. Leibniz memakai lambang $\int{...dx}$.

Teorema-Teorema dalam Integral Tak Tentu [anti turunan]

1. $\int{x^p} dx=\frac{1}{p+1}\left(x^{p+1} \right )+c$
2. $\int{kf(x)}dx=k\int{f(x)dx}$
3. $\int{[f(x)+g(x)]}dx=\int{f(x)dx}+\int{g(x)}dx$
4. $\int{[f(x)-g(x)]}dx=\int{f(x)dx}-\int{g(x)dx}$
5. Jika (g) suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan (r) suatu bilangan rasional yang bukan (-1). Maka
   $\int{[g(x)]^{r}g'(x)}dx=\frac{[g(x)]^{r+1}}{r+1}+C$
6. Integral Parsial: $\int UdV=UV-\int VdU$

Teorema-Teorema dalam Integral Tentu [Integral Riemann]

Integral tentu diperkenalkan sebagai limit jumlah Riemann sebagai generalisasi dari proses perhitungan luas daerah tertutup pada bidang datar. Dari sini bisa dikatakan bahwa Integral Tentu berkaitan dengan luas daerah. Secara umum, $\int_{a}^{b}{f(x)}dx$ menyatakan batasanluas daerah yang tercakup di antara kurva $y=f(x)$ dan sumbu-(x) dalam selang $[a,b]$, yang berarti bahwa tanda positif akan diberikan pada lua bagian-bagian yang berada di bagian atas sumbu-(x) dan tanda negatif diberikan untuk luas bagian-bagian yang berada di bawah sumbu-(x).

Luas adalah bilangan tak negatif. Jika grafik $y=f(x)$ terletak di bawah sumbu-(x) maka $\int_{a}^{b}{f(x)}dx$ adalah bilangan negatif. Bilangan tersebut adalah negatif dari luas daerah yang dibatasi oleh $y=f(x), x=a, x=b$, dan (y=0).

Teorema-Teorema dalam Integral Tentu [Jumlah Riemann]

1. Jika fungsi (f) kontinu pada $[a,b]$ dan fungsi (F) adalah suatu anti turunan dari (f) pada $[a,b]$, maka $\int_{a}^{b}{f(x)dx}=F(b)-F(a)$
2. $\int_{a}^{b}{kf(x)}dx=k\int_{a}^{b}{f(x)}dx$
3. $\int_{a}^{b}{[f(x)+g(x)]}dx=\int_{a}^{b}{f(x)}dx+\int_{a}^{b}{g(x)}dx$
4. $\int_{a}^{b}{[f(x)-g(x)]}dx=\int_{a}^{b}{f(x)}dx-\int_{a}^{b}{g(x)}dx$
5. Jika (f) terintegralkan pada suatu selang yang mengandung tiga titik (a,b) dan (c), maka
   $\int_{a}^{c}{f(x)}dx=\int_{a}^{b}{f(x)}dx+\int_{b}^{c}{f(x)}dx$
6. $\int_{a}^{b}{f(x)}dx=-\int_{b}^{a}{f(x)}dx$ untuk (a>b)
7. $\int_{a}^{a}{f(x)}dx=0$
8. $\int_{-a}^{a}{f(x)}dx=2\int_{0}^{a}{f(x)}dx$; untuk fungsi genap
   fungsi genap saat $f(-x)=f(x)$
9. $\int_{-a}^{a}{f(x)}dx=0$; untuk fungsi ganjil
   fungsi ganjil saat $f(x)=-f(x)$
10. $\int_{a}^{b}{f(x)}dx=\int_{a+c}^{b+c}{f(x-c)}dx$, dengan memisalkan $x=u-c\Leftrightarrow u=x+c$
    $\int_{a}^{b}{f(x)}dx=\int_{a-c}^{b-c}{f(x+c)}dx$, dengan memisalkan $x=u+c\Leftrightarrow u=x-c$
11. Misalkan (g) mempunyai turunan kontinu pada $[a,b]$, dan misalkan (f) kontingu pada daerah nilai (g). Maka,
    $\int_{a}^{b}{f\left(g(x)\right)g'(x)dx}=\int_{g(a)}^{g(b)}{f(u)du}$
    Contoh:
    Hitunglah $\int_{0}^{1}{\frac{x+1}{\left(x^{2}+2x+6 \right)^{2}}}dx$
    Pembahasan:
    Cara 1
    Misalkan $u=x^{2}+2x+6$, sehingga $du=(2x+2)dx=2(x+1)dx$,
    $x=0\rightarrow u=0^{2}+2.0+6=6$
    $x=1\rightarrow u=1^{2}+2.1+6=9$
    Jadi,
    $\int_{0}^{1}{\frac{x+1}{\left(x^{2}+2x+6 \right)^{2}}}dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}{\frac{2(x+1)}{\left(x^{2}+2x+6 \right)^{2}}}dx$
    

    $=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}{\frac{2(x+1)}{\left(x^{2}+2x+6 \right)^{2}}}dx$

    $=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}{\frac{(2x+2)dx}{\left(x^{2}+2x+6 \right)^{2}}}dx$

    $=\frac{1}{2}\int_{6}^{9}{\frac{du}{u^{2}}}$

    $=\frac{1}{2}\int_{6}^{9}{u^{-2}du}$

    $=\left [ -\frac{1}{2}.\frac{1}{u} \right ]\begin{matrix} 9\\ \\6 \end{matrix}$

    $=-\frac{1}{18}-\left ( -\frac{1}{12} \right )=\frac{1}{36}$

    
    Cara 2
    Cara kedua ini mirip dengan cara pertama, hanya saja setelah di integralkan kembalikan (U) menjadi dalam variabel (x)
    Misalkan $u=x^{2}+2x+6$, sehingga $du=(2x+2)dx=2(x+1)dx$,
    $\int_{0}^{1}{\frac{x+1}{\left(x^{2}+2x+6 \right)^{2}}}dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}{\frac{2(x+1)}{\left(x^{2}+2x+6 \right)^{2}}}dx$
    

    $=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}{\frac{2(x+1)}{\left(x^{2}+2x+6 \right)^{2}}}dx$

    $=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}{\frac{(2x+2)dx}{\left(x^{2}+2x+6 \right)^{2}}}dx$

    $=\frac{1}{2}\int_{6}^{9}{\frac{du}{u^{2}}}$

    $=\frac{1}{2}\int_{6}^{9}{u^{-2}du}$

    $=\left [ -\frac{1}{2}.\frac{1}{u} \right ]\begin{matrix} 1\\ \\0 \end{matrix}$

    $=\left [ -\frac{1}{2}.\frac{1}{x^{2}+2x+6} \right ]\begin{matrix} 1\\ \\0 \end{matrix}$

    $=\left [ -\frac{1}{2}.\frac{1}{1^{2}+2.1+6} \right ]-\left [ -\frac{1}{2}.\frac{1}{0^{2}+2.0+6} \right ]$

    $=\left [ -\frac{1}{2}.\frac{1}{8} \right ]-\left [ -\frac{1}{2}.\frac{1}{6} \right ]$

    $=-\frac{1}{18}-\left ( -\frac{1}{12} \right )=\frac{1}{36}$