Pembahasan Soal UN SMA Materi Grafik Fungsi Kuadrat

Soal 1, Soal UN SMA Tapel 2017-2018
Diketahui grafik fungsi kuadrat seperti pada gambar. Koordinat titik potong grafik dengan sumbu $X$ adalah ...

A. $(-1,0)$ dan $(-8,0)$
B. $(-1,0)$ dan $(8,0)$
C. $(1,0)$ dan $(-8,0)$
D. $(1,0)$ dan $(8,0)$
E. $(2,0)$ dan $(5,0)$

Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan:

Persamaan kuadrat dengan $(x_p,y_p)$ adalah titik puncak [titik balik], dan melalui sebarang titik $(x_1,y_1)$ adalah
$y=a\left ( x-x_p \right )^2+y_p$

Pembahasan
Berdasarkan gambar di atas di dapat titik puncak $P \left ( \frac{9}{2},\frac{-49}{4} \right )$ dan melalui sebarang titik $(0,8)$. Maka:
$y=a\left ( x-x_p \right )^2+y_p$
$8=a\left ( 0-\frac{9}{2} \right )^2+\left ( \frac{-49}{4} \right )$
$8=a\left (\frac{9}{2} \right )^2-\left ( \frac{49}{4} \right )$
$8=a\left ( \frac{81}{4} \right )-\left ( \frac{49}{4} \right )$
$32=81a-49$
$81=81a\rightarrow a=1$

Jadi persamaan kuadratnya
$y=\left ( x-\frac{9}{2} \right )^2+\left ( \frac{-49}{4} \right )$
Titik potong grafik dengan sumbu-$x$, maka $y=0$
$y=\left ( x-\frac{9}{2} \right )^2+\left ( \frac{-49}{4} \right )$
$y=0\rightarrow 0=\left ( x-\frac{9}{2} \right )^2+\left ( \frac{-49}{4} \right )$

$\left ( \frac{49}{4} \right )=\left ( x-\frac{9}{2} \right )^2$

$\left ( x-\frac{9}{2} \right )=\pm \sqrt{\frac{49}{4}}$

$\left ( x-\frac{9}{2} \right )=\pm \frac{7}{2}$

$x_1=\frac{7}{2}+\frac{9}{2}$

$=\frac{16}{2}=8$

atau

$x_2=-\frac{7}{2}+\frac{9}{2}$

$=\frac{2}{2}=1$

Maka titik potong grafik fungsi kuadrat tersebut adalah $(1,0)$ dan $(8,0)$
Jawaban D

Soal 2, Soal UN SMA Tapel 2016-2017 Program Studi IPS
Persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar berikut adalah ...

A. $y=-x^{2}-2x+3$
B. $y=-x^{2}+2x+3$
C. $y=-x^{2}-2x+6$
D. $y=-2x^{2}-2x+6$
E. $y=-x^{2}+2x+6$

Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan:

• Persamaan kuadrat dengan $(x_p,y_p)$ adalah titik puncak [titik balik], dan melalui sebarang titik $(x_1,y_1)$ adalah
  $y=a\left ( x-x_p \right )^2+y_p$
• Persamaan kuadrat yang memotong sumbu-$x$ di $(x_1,0)$ dan $(x_2,0)$ serta melalui sebarang titik $(p,q)$ adalah
  $y=a(x-x_1)(x-x_2)$

Pembahasan
Cara 1, dengan menggunakan titik puncak dan sebarang titik
Berdasarkan gambar di atas di dapat titik puncak $P(1,4)$ dan melalui sebarang titik $(3,0)$. Maka:
$y=a\left ( x-x_p \right )^2+y_p$
$0=a( 3-1)^2+4$
$0=4a+4 \rightarrow a=-1$
Maka, persamaan kuadratnya adalah

$y=-1\left ( x-1 \right )^2+4$
$y=-1 \left(x^{2}-2x+1\right)+4$
$y=-x^{2}+2x-1+4$
$y=-x^{2}+2x+3$

Cara 2, dengan menggunakan titik potong terhadap sumbu-$x$ dan sebarang titik
$y=a(x-x_1)(x-x_2)$
$4=a(1-(-1))(1-3)$
$4=a.2.(-2) \rightarrow a=-1$
Maka, persamaan kuadratnya adalah

$y=-1(x-(-1))(x-3)$
$y=-1 \left(x^{2}-2x-3\right)$
$y=-x^{2}+2x+3$

Jawaban B

Soal 3, Soal USBN SMA Tapel 2016-2017 Paket 1
Persamaan grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik $(1,4)$ serta melalui titik $(2,3)$ adalah ...
A. $y=-x^{2}+2x-3$
B. $y=-x^{2}+2x+3$
C. $y=-x^{2}-2x+3$
D. $y=-2x^{2}-2x-5$
E. $y=-x^{2}-2x+5$

Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan:

Persamaan kuadrat dengan $(x_p,y_p)$ adalah titik puncak [titik balik], dan melalui sebarang titik $(x_1,y_1)$ adalah
$y=a\left ( x-x_p \right )^2+y_p$

Pembahasan
Berdasarkan gambar di atas di dapat titik balik $(1,4)$ dan melalui sebarang titik $(2,3)$. Maka:
$y=a\left ( x-x_p \right )^2+y_p$
$3=a(2-1)^2+4$
$3=a.1+4 \rightarrow a=-1$
Jadi persamaan kuadratnya

$y=a\left ( x-x_p \right )^2+y_p$
$y=-1\left ( x-1 \right )^2+4$
$y=-1\left ( x^{2}-2x+1 \right )+4$
$y= -x^{2}+2x-1+4$
$y= -x^{2}+2x+3$

Jawaban B

Soal 4, Soal UN SMA Tapel 2017-2018 Program Studi IPA
Perhatikan grafik fungsi kuadrat berikut!

Grafik tersebut memotong sumbu-$x$ di titik ...
A. $(0,0)$ dan $(8,0)$
B. $(\frac{1}{2},0)$ dan $(\frac{15}{2},0)$
C. $(1,0)$ dan $(7,0)$
D. $(\frac{3}{2},0)$ dan $(\frac{13}{2},0)$
E. $(2,0)$ dan $(6,0)$

Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan:

• Persamaan kuadrat dengan $(x_p,y_p)$ adalah titik puncak [titik balik], dan melalui sebarang titik $(x_1,y_1)$ adalah
  $y=a\left ( x-x_p \right )^2+y_p$
• Titik potong terhadap sumbu-$x$ maka $y=0$
  Titik potong terhadap sumbu-$y$ maka $x=0$

Pembahasan
Berdasarkan gambar di atas di dapat titik balik $(4,4)$ dan melalui sebarang titik $(0,12)$. Maka:
$y=a\left ( x-x_p \right )^2+y_p$
$-12=a(0-4)^2+4$
$-12=16a+4$
$-16=16a \rightarrow a=-1$
Jadi persamaan kuadratnya

$y=a\left ( x-x_p \right )^2+y_p$
$y=-1\left ( x-4 \right )^2+4$
karena pertanyaanya mencari titik potong terhadap sumbu-$x$, maka
$y=0 \rightarrow 0=-1\left ( x^{2}-8x+16 \right )+4$
$0= -x^{2}+8x-16+4$
$0= -x^{2}+8x-12$
$0= x^{2}-8x+12$
$0=(x-6)(x-2)$
di dapat $x=6$ atau $x=2$
titik potongnya $(2,0)$ dan $(6,0)$

Jawaban E

Soal 5, Soal UN SMA Tapel 2016-2017 Program Studi IPA
Jika grafik fungsi $y=3x^{2}+(m-2)x+3$ menyinggung sumbu-$x$, nilai $m$ yang memenuhi adalah ...
A. $m=-4$ atau $m=-8$
B. $m=-4$ atau $m=8$
C. $m=4$ atau $m=-8$
D. $m=4$ atau $m=8$
E. $m=2$ atau $m=-4$

Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan:

• Bentuk umum persamaan kuadrat adalah $ax^{2}+bx+c=0$ dengan nilai diskriminan adalah $D=b^{2}-4ac$
• $D=0$, maka persamaan kuadrat mempunyai akar real yang kembar [Grafik menyinggung sumbu-$x$]
  

Karena fungsi $y=3x^{2}+(m-2)x+3$ menyinggung sumbu-$x$, maka
$D=b^{2}-4ac$
$0=(m-2)^{2}-4.3.3$
$0=m^{2}-4m+4-36$
$0=m^{2}-4m-32$
$0=(m-8)(m+4)$
di dapat,
$m=8$ atau $m=-4$
Jawaban B