Pembahasan Soal UN Menentukan Nilai Tertentu Berdasarkan Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Soal 1, UN Matematika SMA Program Studi IPS Tahun 2013
Diketahui $p$ dan $q$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-5x-6=0$. Nilai dari $p^{2}+q^{2}-4pq=$ ...
A. 66
B. 61
C. 49
D. 37
E. 19

Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan:

• $p^{2}+q^{2}=(p+q)^{2}-2pq$
• Persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ mempunyai akar-akar $p$ dan $q$, maka $(p+q)=\frac{-b}{a}$ dan $(p.q)=\frac{c}{a}$

Pembahasan
Jika akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-5x-6=0$ adalah $p$ dan $q$, maka $p+q=\frac{-b}{a}=\frac{-(-5)}{1}=5$ dan $p.q=\frac{c}{a}=\frac{-6}{1}=-6$
$p^{2}+q^{2}-4pq=\left ( (p+q)^{2}-2pq \right )-4pq$

$=(p+q)^{2}-6pq$
$=\left (5 \right )^{2}-6.(-6)$
$=(5)^{2}+36$
$=25+36=61$

Jawaban B

Soal 2, UN Matematika SMA Tapel 2016/2017 Program Studi IPA
Persamaan kuadrat $x^{2}+kx-(2k+4)=0$ mempunyai akar-akar $\alpha$ dan $\beta$. Jika $\alpha ^{2}+\beta ^{2}=53,$ nilai $k$ yang memenuhi adalah ...
A. $k=15$ atau $k=3$
B. $k=-9$ atau $k=-5$
C. $k=9$ atau $k=5$
D. $k=-9$ atau $k=5$
E. $k=9$ atau $k=-5$

Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan:

• $p^{2}+q^{2}=(p+q)^{2}-2pq$
• Persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ mempunyai akar-akar $p$ dan $q$, maka $(p+q)=\frac{-b}{a}$ dan $(p.q)=\frac{c}{a}$

Pembahasan
Jika akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}+kx-(2k+4)=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$, maka $\alpha+\beta=\frac{-b}{a}=\frac{-k}{1}=k$ dan $\alpha.\beta=\frac{c}{a}=\frac{-(2k+4)}{1}=-(2k+4)$
$\alpha^{2}+\beta^{2}=\left ( (\alpha+\beta)^{2}-2\alpha.\beta \right )$

$53=(-k)^{2}-6(-(2k+4))$
$53=k^{2}+4k+8$
$k^{2}+4k-45=0$
$(k+9)(k-5)=0$
$k=-9$ atau $k=5$

Jawaban D

Soal-soal yang serupa:

1. UN 2018 IPS Paket 1
   Persamaan kuadrat $x^{2}-(a+2)x+a=0$ mempunyai akar-akar $p$ dan $q$. Jika $p^{2}+q^{2}=28$, maka nilai $a$ positif yang memenuhi adalah ...
   A. 1
   B. 2
   C. 3
   D. 4
   E. 6
2. UNBK SMA 2017
   $\alpha$ dan $\beta$ adalah akar-akar persamaan $2x^{2}-8x+(p+1)=0$. Jika $\alpha ^{2}+\beta ^{2}=12$, nilai $2p$ yang memenuhi adalah ...
   A. -2
   B. -1
   C. 1
   D. 2
   E. 6

Catatan Penting:
Persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ mempunyai akar-akar $p$ dan $q$, maka

• $p-q=\pm \frac{\sqrt{D}}{a}$ dengan $D=b^{2}-4ac$
• $p^{2}-q^{2}=(p+q)(p-q)$
• $p^{3}+q^{3}=(p+q)^{3}-3pq(p+q)$
• $p^{3}-q^{3}=(p-q)^{3}+3pq(p-q)$
• $p^{4}+q^{4}=\left ( p^{2}+q^{2} \right )^{2}-2(p+q)^{2}$
• $p^{4}-q^{4}=\left [ (p+q)^{2}-2pq \right ](p-q)(p+q)$