Pembahasan Soal UN SMA Materi Trigonometri

Soal 1, Pembahasan Soal UN SMA Tapel 2017/2018
Pada sebuah segitiga siku-siku diketahui $sin \left(\alpha \right)=a$, maka nilai $tan \left(\alpha \right)=$ ....
A. $-\frac{a}{\sqrt{a^{2}-1}}$
B. $-\frac{1}{\sqrt{a^{2}-1}}$
C. $-\frac{a}{\sqrt{a^{2}-1}}$
D. $\frac{a}{\sqrt{1-a^{2}}}$
E. $\frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}$

Konsep yang digunakan dalam perhitungan:

1. $sin \left(\alpha \right)=\frac{depan}{miring}$
2. $tan \left(\alpha \right)=\frac{depan}{samping}$
3. Rumus Pythagoras yang berbunyi sisi miring kuadrat sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi lainnya [Sejarah singkat Teorema Pythagoras]

Pembahasan
$sin \left(\alpha \right)=a$, maka dapat dibuat segitiga seperti di bawah ini

$AB=\sqrt{(AC)^{2}-(BC)^{2}}$
$AB=\sqrt{(1)^{2}-(a)^{2}}$
$AB=\sqrt{1-a^{2}}$
Maka di dapat, $tan\left(\alpha \right )= \frac{a}{\sqrt{1-a^{2}}}$
Jawaban D

Soal 2, Pembahasan Soal UN SMA Tapel 2016-2017 Program Studi IPA
Diketahui $sin \left(\alpha \right) cos \left(\beta \right)=\frac{1}{3}$ dan $\left(\alpha+\beta\right)=\frac{5\pi}{6}$. Nilai $sin\left(\alpha-\beta \right)=$...
A. $-\frac{5}{6}$
B. $-\frac{1}{2}$
C. $-\frac{1}{6}$
D. $\frac{1}{6}$
E. $\frac{1}{2}$

Konsep yang digunakan dalam perhitungan:
Rumus jumlah dan selisih sudut trigonometri:

• $sin \left ( \alpha +\beta \right )=sin\left ( \alpha \right )cos\left ( \beta \right )+cos \left ( \alpha \right )sin\left ( \beta \right )$
• $sin \left ( \alpha -\beta \right )=sin\left ( \alpha \right )cos\left ( \beta \right )-cos \left ( \alpha \right )sin\left ( \beta \right )$

Pembahasan
Di soal diketahui bahwa $\left ( \alpha +\beta \right )=\frac{5\pi}{6}$, kita akan sama-sama cari nilai "sin" nya, ruas kiri sama dengan maupun ruas kanan sama dengan, maka di dapat:
$sin\left ( \alpha +\beta \right )=sin\left ( \frac{5\pi}{6} \right )$
$sin\left ( \alpha \right )cos\left ( \beta \right )+cos\left ( \alpha \right )sin\left ( \beta \right )=\frac{1}{2}$
$\frac{1}{3}+cos\left ( \alpha \right )sin\left ( \beta \right )=\frac{1}{2}$
$cos\left ( \alpha \right )sin\left ( \beta \right )=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$
$cos\left ( \alpha \right )sin\left ( \beta \right )=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{1}{6}$

Jadi $sin\left ( \alpha -\beta \right )=sin\left ( \alpha \right )cos\left ( \beta \right )-cos\left ( \alpha \right )sin\left ( \beta \right )$

$=\frac{1}{3}-\frac{1}{6}$

$=\frac{2}{6}-\frac{1}{6}=\frac{1}{6}$

Jawaban D

Soal 3, Pembahasan Soal UN SMA Tapel 2016-2017 Program Studi IPA
Nilai dari $\frac{sin\left ( 40^{o} \right )-sin\left ( 20^{o} \right )}{cos\left ( 40^{o} \right )-cos\left ( 20^{o} \right )}$ adalah ...
A. $-\sqrt{3}$
B. $-\frac{1}{3}\sqrt{3}$
C. $\frac{1}{3}\sqrt{3}$
D. $\sqrt{2}$
E. $\sqrt{3}$

Konsep yang digunakan dalam perhitungan:
Rumus penjumlahan/pengurangan fungsi trigonometri

• $sin\left ( \alpha \right )-sin\left ( \beta \right)= 2cos\left ( \frac{\alpha +\beta }{2} \right ).sin \left ( \frac{\alpha -\beta }{2} \right )$
• $cos\left ( \alpha \right )-cos\left ( \beta \right )=-2sin\left ( \frac{\alpha +\beta }{2} \right ).sin \left ( \frac{\alpha -\beta }{2} \right )$

Pembahasan
Kita akan olah pembilang maupun penyebutnya, maka di dapat:
$\frac{sin\left ( 40^{o} \right )-sin\left ( 20^{o} \right )}{cos\left ( 40^{o} \right )-cos\left ( 20^{o} \right )}$
$=\frac{2cos\left ( \frac{40^{o}+20^{o}}{2} \right ).sin \left ( \frac{40^{o}-20^{o}}{2} \right ) }{-2sin\left ( \frac{40^{o}+20^{o}}{2} \right ).sin\left ( \frac{40^{o}-20^{o}}{2} \right )}$
$=\frac{2cos \left ( 30^{o} \right ).sin\left ( 10^{o} \right )}{-2sin \left ( 30^{o} \right ).sin\left ( 10^{o} \right )}$
$=-\frac{cos\left ( 30^{o} \right )}{sin\left ( 30^{o} \right )}$
$=-\frac{\frac{1}{2}\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}=-\sqrt{3}$
Jawaban A

Soal 4, Soal UN SMA Tapel 2016 - 2017 Program Studi IPS
Himpunan penyelesaian persamaan $2cos\left ( x \right )+1=0$, $0^{o}\leq x\leq 360^{o}$ adalah ...
A. $\left \{60^{o},120^{o},240^{o},300^{o}\right \}$
B. $\left \{60^{o},120^{o},240^{o}\right \}$
C. $\left \{60^{o},120^{o}\right \}$
D. $\left \{120^{o},240^{o}\right \}$
E. $\left \{240^{o},300^{o}\right \}$

Konsep yang digunakan dalam perhitungan:
Jika $cos\left ( x \right )=cos\left ( \alpha \right )$, maka $x=\pm \alpha +k.360^{o}$

Pembahasan
Dari soal bahwa $2cos\left ( x \right )+1=0$

$2cos\left ( x \right )=-1$

$cos\left ( x \right )=-\frac{1}{2}$

$cos\left ( x \right )=cos\left ( 120^{o} \right )$, dari sini di dapat $\alpha =120^{o}$

Berdasarkan rumus di atas, maka $x=\pm 120^{o} +k.360^{o}$
kasus pertama, ambil $x=120^{o} +k.360^{o}$

• $k=-1 \Rightarrow x=120^{o} +(-1).360^{o}=-240^{o}$ [tidak memenuhi dan kita tidak perlu ngecek untuk $k<-1 360="" di="" k="-1$" karena="" leq="" li="" memenuhi="" o="" rentang="" saja="" sudah="" tidak="" untuk="" x="">
  
  
  
• $k=0 \Rightarrow x=120^{o} +0.360^{o}=120^{o}$[memenuhi]




• $k=1 \Rightarrow x=120^{o} +1.360^{o}=480^{o}$ [tidak memenuhi dan kita tidak perlu ngecek untuk $k>1$, karena untuk $k=1$ saja sudah tidak memenuhi di rentang $0^{o}\leq x\leq 360^{o}$

kasus kedua, ambil $x=-120^{o} +k.360^{o}$

• $k=-1 \Rightarrow x=-120^{o} +(-1).360^{o}=-480^{o}$ [tidak memenuhi dan kita tidak perlu ngecek untuk $k<-1 360="" di="" k="-1$" karena="" leq="" li="" memenuhi="" o="" rentang="" saja="" sudah="" tidak="" untuk="" x="">
  
  
  
• $k=0 \Rightarrow x=-120^{o} +0.360^{o}=-120^{o}$ [tidak memenuhi]




• $k=1 \Rightarrow x=-120^{o} +1.360^{o}=240^{o}$[memenuhi]




• $k=2 \Rightarrow x=-120^{o} +2.360^{o}=600^{o}$[tidak memenuhi dan kita tidak perlu ngecek untuk $k>2$, karena untuk $k=2$ saja sudah tidak memenuhi di rentang $0^{o}\leq x\leq 360^{o}$



Maka yang memenuhi adalah $\left \{120^{o},240^{o}\right \}$
Jawaban D