Pembahasan Soal UN SMA Materi Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Soal 1, UN SMA Tapel 2017-2018 Program Studi IPA
Persamaan garis singgung pada lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x+4y+4=0$ yang tegak lurus garis $5x+12y-12=0$ adalah ...
A. $12x-5y=7$ atau $12x-5y=85$
B. $12x+5y=7$ atau $12x+5y=85$
C. $12x+5y=7$ atau $12x-5y=85$
D. $12x-5y=7$ atau $12x+5y=85$
E. $5x-12y=7$ atau $5x+12y=85$

Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan:

• $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ mempunyai titik pusat yaitu $(a,b)=\left(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right )$ dan $r=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C}$
• Persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ dengan gradien (m) adalah $\left(y-b \right )=m_2\left(x-a \right )\pm r\sqrt{1+m^{2}}$
• Hubungan gradien garis yang saling tegak lurus adalah $m_1\times m_2=-1$
• Untuk cara mengkuadratkan sempurna bisa lihat di Video ini

Pembahasan
Ubah bentuk $x^{2}+y^{2}-6x+4y+4=0$ menjadi $\left(x-a \right )^{2}+\left(y-b \right )^{2}=r^{2}$, maka
$x^{2}-6x+\left(\frac{-6}{2} \right )^{2}+y^{2}+4y+\left(\frac{4}{2} \right )^{2}=\left(\frac{-6}{2} \right )^{2}+\left(\frac{4}{2} \right )^{2}-4$
$\left(x+\left(\frac{-6}{2} \right ) \right )^{2}+\left(y+\left(\frac{4}{2} \right ) \right )^{2}=9$
$\left(x-3 \right )^{2}+\left(y+2\right )^{2}=3^{3}$
maka di dapat $a=3, b=-2$ dan $r=3$

Gradien garis $5x+12y-12=0$ adalah $m_1=\frac{-5}{12}$
Gradien garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x+4y+4=0$ misalkan (m_2)
Karena garis $5x+12y-12=0$ tegak lurus dengan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x+4y+4=0$, maka
$m_1\times m_2=-1$
$\frac{-5}{12} \times m_2=-1$
$m_2=-1 \times \frac{12}{-5}$
$m_2=\frac{12}{5}$

Maka, Persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x+4y+4=0$ yang tegak lurus dengan garis $5x+12y-12=0$ adalah
$\left(y-b \right )=m_2\left(x-a \right )\pm r\sqrt{1+m^{2}}$
$\left(y-(-2) \right )=\frac{12}{5}\left(x-3 \right )\pm 3\sqrt{1+\left( \frac{12}{5}\right )^{2}}$
$\left(y-(-2) \right )=\frac{12}{5}\left(x-3 \right )\pm 3\sqrt{1+\left( \frac{144}{25}\right )}$
$y=\frac{12}{5}.x-\frac{12}{5}.3-2\pm 3\sqrt{\frac{169}{25}}$
$y=\frac{12}{5}.x-\frac{12}{5}.3-2\pm 3.\frac{13}{5}$
$5y=12x-36-10 \pm 39$

Persamaan garis singgung yang pertama
$5y=12x-36-10+39$
$5y=12x-7$
$12x-5y=7$
persamaan garis singgung yang kedua
$5y=12x-36-10-39$
$5y=12x-85$
$12x-5y=85$

CARA LAIN
Mencari (a,b) dan (r) tanpa mengubah persamaan yang lingkaran, dengan cara:

$a=-\frac{1}{2}.-6$
$a=3$
$b=-\frac{1}{2}.4$
$b=-2$
$r=\sqrt{\frac{1}{4}.(-6)^{2}+\frac{1}{4}.(4)^{2}-4}$
$r=\sqrt{\frac{1}{4}.36+\frac{1}{4}.16-4}$
$r=\sqrt{9+4-4}$
$r=3$

Untuk mencari persamaan garis singgungnya, caranya sama seperti di atas.
Jawaban A

Soal 2, UN SMA Tapel 2017-2018 Program Studi IPA
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-10x+2y+1=0$ yang tegak lurus dengan garis $5x+12y-8=0$ adalah ...
A. $5y-12x-130=0$
B. $5y-12x+130=0$
C. $5y+12x+130=0$
D. $5x-12y+130=0$
E. $5x+12y+130=0$

Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan:

• $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ mempunyai titik pusat yaitu $(a,b)=\left(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right )$ dan $r=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C}$
• Persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ dengan gradien (m) adalah $\left(y-b \right )=m_2\left(x-a \right )\pm r\sqrt{1+m^{2}}$
• Hubungan gradien garis yang saling tegak lurus adalah $m_1\times m_2=-1$

Pembahasan
Berdasarkan persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}-10x+2y+1=0$ di dapat:
$a=-\frac{1}{2}.(-10) \Rightarrow a=5$
$b=-\frac{1}{2}.2 \Rightarrow b=-1$
Jadi, titik pusat lingkaran itu adalah $(5,-1)$
$r=\sqrt{\frac{1}{4}.(-10)^{2}+\frac{1}{4}.(2)^{2}+1}$
$r=\sqrt{\frac{1}{4}.100+\frac{1}{4}.4+1}$
$r=\sqrt{25+1-1}$
$r=\sqrt{25}$
$r=5$
Berdasarkan persamaan garis $5x+12y-8=0$, maka gradien garis tersebut adalah $m_1=-\frac{5}{12}$
Karena di soal di nyatakan persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-10x+2y+1=0$ tegak lurus dengan garis $5x+12y-8=0$, dan misalkan gradien garis singgung lingkaran tersebut adalah $m_2$, maka
$m_1\times m_2=-1$
$-\frac{5}{12} \times m_2=-1\Rightarrow m_2=\frac{12}{5}$
Maka, Persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x+4y+4=0$ yang tegak lurus dengan garis $5x+12y-12=0$ adalah
$\left(y-b \right )=m_2\left(x-a \right )\pm r\sqrt{1+m^{2}}$
$\left(y-(-1) \right )=\frac{12}{5}\left(x-5 \right )\pm 5\sqrt{1+\left( \frac{12}{5}\right )^{2}}$ Catatan: $(-) \times (-)=(+)$
$\left(y+1 \right )=\frac{12}{5}\left(x-5 \right )\pm 5\sqrt{1+\left( \frac{144}{25}\right )}$
$y=\frac{12}{5}.x-\frac{12}{5}.5-1\pm 5\sqrt{\frac{169}{25}}$
$y=\frac{12}{5}.x-\frac{12}{5}.5-1\pm 5.\frac{13}{5}$
$5y=12x-5.12-1.5 \pm 5.13$ Catatan: ruas kiri dan kanan sama-sama kali 5
$5y=12x-60-5 \pm 65$
$5y=12x-65 \pm 65$

Persamaan garis singgung yang pertama
$5y=12x-65+65$
$5y=12x$
$12x-5y=0$
persamaan garis singgung yang kedua
$5y=12x-65-65$
$5y=12x-130$
$5y-12x+130=0$

Jawaban B

Sebagai latihan, berikut merupakan soal-soal yang mirip dengan soal di atas

• UN Matematika SMA Tapel 2014-2015 Program studi IPA
  Salah satu persaaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}+4x-6y+4=0$ dan tegak lurus garis $3y-x=1$ adalah ...
  A. $y=-3x-3+3\sqrt{10}$
  B. $y=-3x+3+3\sqrt{10}$
  C. $y=-3x+3-3\sqrt{10}$
  D. $y=-x-1+\sqrt{10}$
  E. $y=-x+1-\sqrt{10}$
  
• nambah lagi