Pembahasan Soal UN SMA Membuat Persamaan Kuadrat Baru

Soal 1, UN SMA Tapel 2016/2017 Program Studi IPA
Akar-akar persamaan kuadrat $3x^{2}-x-4=0$ adalah $x_1$ dan $x_2$. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $(3x_1-1)$ dan $(3x_2-1)$ adalah ...
A. $x^{2}-x-38=0$
B. $x^{2}+x-32=0$
C. $x^{2}+x+12=0$
D. $x^{2}+x-12=0$
E. $x^{2}-x-12=0$

Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan:

• Persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ mempunyai akar-akar $p$ dan $q$, maka $p+q=\frac{-b}{a}$ dan $p.q=\frac{c}{a}$
• Persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar $p$ dan $q$ adalah $x^{2}-(p+q)x+p.q=0$

Pembahasan
Berdasarkan persamaan kuadrat $3x^{2}-x-4=0$ yang mempunyai akar-akar $x_1$ dan $x_2$ di dapat $(x_1+x_2)=-\frac{(-1)}{3}=\frac{1}{3}$ dan $(x_1.x_2)=\frac{(-4)}{3}=-\frac{4}{3}$.
Persamaan kuadrat baru yang kita cari adalah $x^{2}-(p+q)x+p.q=0$ dengan akar-akarnya $p=3x_1-1$ dan $q=3x_2-1$, maka
$p.q=\left ( 3x_1-1 \right )\left ( 3x_2-1 \right )$

$=9x_1.x_2-3(x_1+x_2)+1$
$=9\left ( -\frac{4}{3} \right )-3\left ( \frac{1}{3} \right )+1$
$=-12-1+1=-12$

$p+q=(3x_1-1)+(3x_2-1)$

$=3\left ( x_1+x_2 \right )-2$
$=3\left ( \frac{1}{3} \right )-2$
$=1-2=-1$

Maka persamaan kuadrat baru adalah
$x^{2}-(p+q)x+p.q=0$
$x^{2}-(-1)x+(-12)=0$
$x^{2}+x-12=0$
Jawaban D

Soal 2, UN SMA Tapel 2014/2015 Program Studi IPA
Persamaan kuadrat $x^{2}+5x-4=0$ mempunyai akar-akar $\alpha$ dan $\beta$. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $(\alpha+2)$ dan $(\beta+2)$ adalah ...
A. $x^{2}+x-14=0$
B. $x^{2}+x-6=0$
C. $x^{2}+x-10=0$
D. $x^{2}-9x-10=0$
E. $x^{2}+9x-14=0$

Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan:

• Persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ mempunyai akar-akar $p$ dan $q$, maka $p+q=\frac{-b}{a}$ dan $p.q=\frac{c}{a}$
• Persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar $p$ dan $q$ adalah $x^{2}-(p+q)x+p.q=0$

Pembahasan
Berdasarkan persamaan kuadrat $x^{2}+5x-4=0$ mempunyai akar-akar $\alpha$ dan $\beta$ di dapat $(\alpha+\beta)=-\frac{5}{1}=-5$ dan $(\alpha.\beta)=\frac{(-4)}{1}=-4$.
Persamaan kuadrat baru yang kita cari adalah $x^{2}-(p+q)x+p.q=0$ dengan akar-akarnya $p=\alpha+2$ dan $q=\beta+2$, maka
$p.q=\left ( \alpha+2 \right )\left ( \beta+2 \right )$

$=\alpha .\beta +2\left ( \alpha +\beta \right )+4$
$=-4+2(-5)+4=-10$

$(\alpha +2)+\left ( \beta +2 \right )=\alpha +\beta +4$

$=-5+4=-1$

Maka persamaan kuadrat baru adalah
$x^{2}-(p+q)x+p.q=0$
$x^{2}-(-1)x+(-10)=0$
$x^{2}+x-10=0$
Jawaban C

Sebagai latihan, silahkan jawab soal berikut dengan langkah-langkah yang hampir sama dengan contoh di atas.

1. UN Tahun 2018 Program Studi IPS Paket 1
   Jika akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-3x+5=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $(\alpha +2)$ dan $(\beta +2)$ adalah ...
   A. $x^{2}+7x+15=0$
   B. $x^{2}-7x+15=0$
   C. $x^{2}+x+3=0$
   D. $x^{2}+x-3=0$
   E. $x^{2}-x-15=0$
2. UNBK Tahun 2017
   Jika $\alpha$ dan $\beta$ adalah akar-akar persamaan $2x^{2}-3x+4=0$, persamaan kuadrat yang akar-akarnya $(2\alpha +1)$ dan $(2\beta +1)$ adalah ....
   A. $x^{2}-12x+5=0$
   B. $x^{2}+5x-12=0$
   C. $x^{2}+5x+12=0$
   D. $x^{2}-5x+12=0$
   E. $x^{2}-5x-12=0$
3. UN Tapel 2016/2017 Program Studi IPS
   Diketahui $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-6x-5=0$. persamaan kuadrat yang akar-akarnya $(2x_1+1)$ dan $(2x_2+1)$ adalah ...
   A. $x^{2}-14x-31=0$
   B. $x^{2}-14x-8=0$
   C. $x^{2}-14x-7=0$
   D. $x^{2}+10x-31=0$
   E. $x^{2}+10x-8=0$