Pembahasan Soal UN Materi Integral Tak Tentu

Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan untuk soal di bawah ini adalah:

• $\int {ku^{n}du}=k\frac{1}{n+1}u^{n+1}+C$; dengan $k$ adalah konstanta

Soal 1, UN SMA Tapel 2016/2017 Program Studi IPA
Hasil dari $\int {\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+4x-3}}}dx$ adalah ...
A. $\sqrt{x^{2}+4x-3}+C$
B. $2\sqrt{x^{2}+4x-3}+C$
C. $3\sqrt{x^{2}+4x-3}+C$
D. $4\sqrt{x^{2}+4x-3}+C$
E. $6\sqrt{x^{2}+4x-3}+C$

Pembahasan
Berdasarkan $\int {\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+4x-3}}}dx$, kita misalkan:
$u=x^{2}+4x-3$
$\frac{du}{dx}=2x+4$ [$\frac{du}{dx}$ maksudnya adalah turunan $u$ terhadap $x$]
$du=(2x+4)dx$
$\frac{1}{2}du=(x+2)dx$
Maka $\int {\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+4x-3}}}dx$

$=\int {\frac{(x+2)dx}{\sqrt{x^{2}+4x-3}}}$
$=\int {\frac{\frac{1}{2}du}{\sqrt{u}}}$
$=\int {u^{\left ( -\frac{1}{2} \right )}\frac{1}{2}du}$
$=\frac{1}{2}\int {u^{\left ( -\frac{1}{2} \right )}du}$
$=\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{1+\left ( -\frac{1}{2} \right )} \right )u^{1+\left ( -\frac{1}{2} \right )}+C$
$=\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{\frac{1}{2}} \right )u^{\frac{1}{2}}+C$
$=\frac{1}{2}2u^{\frac{1}{2}}+C$
$=u^{\frac{1}{2}}+C$
$=\sqrt{u}+C$
$=\sqrt{x^{2}+4x-3}+C$

Jawaban A

Soal 2, UN SMA Tapel 2014/2015 Program Studi IPA
Hasil $\int {6x\left ( 1-x^{2} \right )^{4}}dx$ adalah ...
A. $\frac{3}{5}(1-x^{2})^{5}+C$
B. $\frac{2}{5}(1-x^{2})^{5}+C$
C. $-\frac{1}{5}(1-x^{2})^{5}+C$
D. $-\frac{2}{5}(1-x^{2})^{5}+C$
E. $-\frac{3}{5}(1-x^{2})^{5}+C$

Pembahasan
Berdasarkan $\int {6x\left ( 1-x^{2} \right )^{4}}dx$ kita misalkan:
$u=1-x^{2}$
$\frac{du}{dx}=-2x$
$du=-2xdx$
$-3du=6xdx$
Maka:
$\int {6x\left ( 1-x^{2} \right )^{4}}dx$
$=\int {\left ( 1-x^{2} \right )^{4}6xdx}$

$=\int {u^{4}(-3du)dx}$
$=-3\int u^{4}du$
$=-3\frac{1}{5}u^{5}+C$
$=-\frac{3}{5}(1-x^{2})^{5}+C$

Jawaban E

Sebagai latihan, berikut adalah soal yang mirip dengan soal di atas

• UNBK SMA Negeri 7 Denpasar Tahun 2017
  Hasil dari $\int {\frac{2x-1}{\sqrt{2x^{2}-2x+5}}}dx=...$
  A. $2\sqrt{2x^{2}-2x+5}+C$
  B. $\sqrt{2x^{2}-2x+5}+C$
  C. $-\sqrt{2x^{2}-2x+5}+C$
  D. $-2\sqrt{2x^{2}-2x+5}+C$
  E. $-3\sqrt{2x^{2}-2x+5}+C$