Pembahasan Soal UN Menyusun Persamaan Lingkaran

Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan:

• $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ mempunyai titik pusat yaitu $(a,b)=\left(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right )$ dan $r=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C}$
• Persamaan lingkaran dengan pusat $(a,b)$ dan jari-jari $r$ adalah
  $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
• Jarak titik $(p,q)$ ke garis $ax+by+c=0$ adalah $d=\left | \frac{a.p+b.q+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right |$

Soal 1, UN SMA Tapel 2014/2015 Program Studi IPA
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik $(-1,2)$ dan menyinggung garis $x+y+7=0$ adalah ...
A. $x^{2}+y^{2}+2x+4y-27=0$
B. $x^{2}+y^{2}+2x-4y-27=0$
C. $x^{2}+y^{2}+2x-4y-32=0$
D. $x^{2}+y^{2}-4x-2y-32=0$
E. $x^{2}+y^{2}-4x+2y-7=0$

Pembahasan
Berdasarkan soal di atas, maka jari-jari lingkaran merupakan jarak titik pusat lingkaran ke garis singgung. Jadi
$r=\left | \frac{1.(-1)+1.2+7}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}} \right |$
$r=\left | \frac{-1+2+7}{\sqrt{2}} \right |$
$r=\left | \frac{8}{\sqrt{2}} \right |$
$r=\frac{8}{2}\sqrt{2}=4\sqrt{2}$
Jadi, persamaan lingkaran dengan pusat $(a,b)=(-1,2)$ dan $r=4\sqrt{2}$ adalah
$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
$(x-(-1))^{2}+(y-2)^{2}=(4\sqrt{2})^{2}$
$(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=32$
$x^{2}+2x+1+y^{2}-4y+4=32$
$x^{2}+y^{2}+2x-4y-27=0$
Jawaban B

Soal 2, UN SMA Tapel 2016/2017 Program Studi IPA
Persamaan lingkaran dengan pusat di titik $(2,-3)$ dan menyinggung garis $x=5$ adalah ...
A. $x^{2}+y^{2}+4x-6y+9=0$
B. $x^{2}+y^{2}-4x+6y+9=0$
C. $x^{2}+y^{2}-4x+6y+4=0$
D. $x^{2}+y^{2}-4x-6y+9=0$
E. $x^{2}+y^{2}+4x-6y+4=0$

Pembahasan
Berdasarkan soal di atas, maka jari-jari lingkaran merupakan jarak titik pusat lingkaran ke garis singgung $x=5 \Leftrightarrow x-5=0$. Jadi
$r=\left | \frac{0.(-3)+1.2-5}{\sqrt{0^{2}+1^{2}}} \right |$
$r=\left | \frac{0+2-5}{\sqrt{1}} \right |$
$r=\left | \frac{-3}{1} \right |$
$r=\left | -3 \right |$
$r=3$
Jadi, persamaan lingkaran dengan pusat $(a,b)=(2,-3)$ dan $r=3$ adalah
$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
$(x-2)^{2}+(y-(-3))^{2}=3^{2}$
$(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=9$
$x^{2}-4x+4+y^{2}+6y+9=32$
$x^{2}+y^{2}-4x+6y+4=0$
Jawaban C

Berikut merupakan soal latihan yang mirip dengan soal di atas

• UNBK SMA 2017
  Persamaan lingkaran yang berpusat di $(2,5)$ dan menyinggung garis $x=7$ adalah ...
  A. $x^{2}+y^{2}+4x-10y-4=0$
  B. $x^{2}+y^{2}+10x-4y-4=0$
  C. $x^{2}+y^{2}-4x-10y+4=0$
  D. $x^{2}+y^{2}+4x-10y+25=0$
  E. $x^{2}+y^{2}+4x+10y-25=0$