Pembahasan soal UN SMA Materi Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Soal 1, UN SMA Tapel 2015-2016 Program Studi IPA
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-2x+6y-10=0$ yang sejajar dengan garis $2x-y+4=0$ adalah ...
A. $2x-y=14$
B. $2x-y=10$
C. $2x-y=5$
D. $2x-y=-5$
E. $2x-y=-6$

Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan:

• $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ mempunyai titik pusat yaitu $(a,b)=\left(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right )$ dan $r=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C}$
• Persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ dengan gradien $m$ adalah $\left(y-b \right )=m_2\left(x-a \right )\pm r\sqrt{1+m^{2}}$
• Hubungan gradien garis yang sejajar adalah $m_1=m_2$

Pembahasan
Berdasarkan persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}-2x+6y-10=0$ di dapat:
$a=-\frac{1}{2}.(-2) \Rightarrow a=1$
$b=-\frac{1}{2}.6 \Rightarrow b=-3$
Jadi, titik pusat lingkaran itu adalah $(1,-3)$
$r=\sqrt{\frac{1}{4}.(-2)^{2}+\frac{1}{4}.(6)^{2}+10}$
$r=\sqrt{\frac{1}{4}.4+\frac{1}{4}.36+10}$
$r=\sqrt{1+9+10}$
$r=\sqrt{20}$
Berdasarkan persamaan garis $2x-y+4=0$, maka gradien garis tersebut adalah $m_1=-\frac{2}{-1}=2$
Karena di soal dinyatakan persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-2x+6y-10=0$ sejajar dengan garis $2x-y+4=0$, dan misalkan gradien garis singgung lingkaran tersebut adalah $m_2$, maka $m_1=m_2=2$
Maka, Persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-2x+6y-10=0$ yang sejajar dengan garis $2x-y+4=0$ adalah
$\left(y-b \right )=m_2\left(x-a \right )\pm r\sqrt{1+m^{2}}$
$\left(y-(-3) \right )=2\left(x-1 \right )\pm \sqrt{20}\sqrt{1+2^{2}}$
$\left(y+3 \right )=2\left(x-1 \right )\pm \sqrt{20}\sqrt{1+4}$ Catatan: $(-) \times (-)=(+)$
$y+3=2(x-1)\pm \sqrt{20}\sqrt{5}$
$y+3=2x-2 \pm 10$

Persamaan garis singgung yang pertama
$y+3=2x-2 + 10$
$y=2x-2+10-3$
$y=2x+5$
$2x-y=-5$
Persamaan garis singgung yang kedua
$y+3=2x-2-10$
$y=2x-2-10-3$
$y=2x-15$
$2x-y=15$

Jawaban D

Soal 2, UN SMA Tapel 2016-2017 Program Studi IPA
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x-4y+3=0$ yang sejajar dengan garis $3x-y-2=0$ adalah ...
A. $3x-y-1=0$
B. $3x-y-21=0$
C. $3x-y-17=0$
D. $3x+y-17=0$
E. $3x+y+3=0$

Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan:

• $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ mempunyai titik pusat yaitu $(a,b)=\left(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right )$ dan $r=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C}$
• Persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ dengan gradien $m$ adalah $\left(y-b \right )=m_2\left(x-a \right )\pm r\sqrt{1+m^{2}}$
• Hubungan gradien garis yang sejajar adalah $m_1=m_2$

Pembahasan
Berdasarkan persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x-4y+3=0$ di dapat:
$a=-\frac{1}{2}.(-6) \Rightarrow a=3$
$b=-\frac{1}{2}.(-4) \Rightarrow b=2$
Jadi, titik pusat lingkaran itu adalah $(3,2)$
$r=\sqrt{\frac{1}{4}.(-6)^{2}+\frac{1}{4}.(-4)^{2}-3}$
$r=\sqrt{\frac{1}{4}.36+\frac{1}{4}.16-3}$
$r=\sqrt{9+4-3}$
$r=\sqrt{10}$
Berdasarkan persamaan garis $3x-y-2=0$, maka gradien garis tersebut adalah $m_1=-\frac{3}{-1}=3$
Karena di soal dinyatakan persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x-4y+3=0$ sejajar dengan garis $3x-y-2=0$, dan misalkan gradien garis singgung lingkaran tersebut adalah $m_2$, maka $m_1=m_2=3$
Maka, Persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x-4y+3=0$ yang sejajar dengan garis $3x-y-2=0$ adalah
$\left(y-b \right )=m_2\left(x-a \right )\pm r\sqrt{1+m^{2}}$
$\left(y-2 \right )=3\left(x-3 \right )\pm \sqrt{10}\sqrt{1+3^{2}}$
$\left(y-2 \right )=3\left(x-3 \right )\pm \sqrt{10}\sqrt{1+9}$
$y-2=3(x-3)\pm \sqrt{10}\sqrt{10}$
$y-2=3x-9 \pm 10$

Persamaan garis singgung yang pertama
$y-2=3x-9 + 10$
$y=3x-9+2+10$
$y=3x+3$
$3x-y+3=0$
Persamaan garis singgung yang kedua
$y-2=3x-9 - 10$
$y=3x-9+2-10$
$y=3x-17$
$3x-y-17=0$

Jawaban C

Sebagai latihan, berikut adalah soal-soal yang pengerjaannya mirip dengan soal di atas

• UNBK SMA 2017
  Persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-2x+4y=0$ yang sejajar garis $2x-y+3=0$ adalah ...
  A. $y=2x-1$
  B. $y=2x+1$
  C. $y=-2x+9$
  D. $y=-2x-9$
  E. $y=-2x+5$