Mencari Luas Daerah Menggunakan Integral

Seperti yang saya posting sebelumnya pada Perbedaan Integral Tentu dan Tak Tentu bahwa daerah yang dibentuk oleh grafik $y=f(x)$ adalah daerah yang tercakup di antara kurva $y=f(x)$ dan sumbu-$x$.

• Jika daerah terletak di antara kurva $y=f(x)$ dan sumbu-$x$ [berada di atas sumbu-$x$] dengan batas-batas integral $a$ dan $b$
  
  
  Maka luas daerahnya adalah $\int_{a}^{b}{f(x)}\ dx$
• Jika daerah terletak di antara kurva $y=f(x)$ dan sumbu-$x$ [berada di bawah sumbu-$x$] dengan batas-batas integral $a$ dan $b$
  
  
  Maka luas daerahnya adalah $-\int_{a}^{b}{f(x)}\ dx$

Luas daerah tidak ada yang negatif.
Berikut merupakan contoh-contoh soal untuk menentukan luas daerah.

Soal 1. UN 2015
Luas daerah antara kurva $y=-x^{3}-x^{2}+2x$ dengan sumbu-$x$ adalah ...
A. $\frac{40}{12}$ satuan luas
B. $\frac{39}{12}$ satuan luas
C. $\frac{37}{12}$ satuan luas
D. $\frac{29}{12}$ satuan luas
E. $\frac{15}{12}$ satuan luas

Pembahasan:
Langkah Pertama: Gambar kurva
Gambar kurva $y=-x^{3}-x^{2}+2x$ adalah sebagai berikut:

Langkah Kedua: Menentukan daerah yang akan dicari luasnya dan titik potong
Menentukan titik potong kurva $y=-x^{3}-x^{2}+2x$ dengan sumbu-$x$, dengan cara mensubstitusi $y=0$ ke persamaan $y=-x^{3}-x^{2}+2x$. Titik potong ini digunakan untuk batas-batas integral.
$y=-x^{3}-x^{2}+2x$
$0=-x^{3}-x^{2}+2x$
$0=-x\left ( x^{2}+x-2 \right )$
$0=-x(x+2)(x-1)$
$x=0\ atau\ x=-2\ atau\ x=1$
Pembagian daerah beserta batas integral tersebut dapat dilihat dalam gambar berikut:

Langkah Ketiga: Mencari Integral dari setiap bagian tersebut
$L_1=\int_{0}^{1}{\left ( -x^{3}-x^{2}+2x \right )}\ dx$

$=\left [ -\frac{1}{4}x^{4}-\frac{1}{3}x^{3}+x^{2} \right ]\begin{matrix}1\\ \\ 0 \end{matrix}$
$=\left ( -\frac{1}{4}1^{4}-\frac{1}{3}1^{3}+1^{2} \right )-\left ( -\frac{1}{4}0^{4}-\frac{1}{3}0^{3}+0^{2} \right )$
$=-\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+1$
$=\frac{5}{12}$

$L_2=-\int_{-2}^{0}{\left ( -x^{3}-x^{2}+2x \right )}\ dx$

$=-\left [ -\frac{1}{4}x^{4}-\frac{1}{3}x^{3}+x^{2} \right ]\begin{matrix}0\\ \\ -2 \end{matrix}$
$=-\left [\left ( -\frac{1}{4}0^{4}-\frac{1}{3}0^{3}+0^{2} \right )-\left ( -\frac{1}{4}(-2)^{4}-\frac{1}{3}(-2)^{3}+(-2)^{2} \right ) \right ]$
$=-\left [0-\left ( -4+\frac{8}{3}+4 \right ) \right ]$
$=\frac{8}{3}$

$Luas\ seluruhnya= L_1+L_2$

$=\frac{5}{12}+\frac{8}{3}$
$=\frac{37}{12}$

Jawaban: C

Soal 2
Luas daerah yang dibentuk oleh kurva $y=x^{2}-2x$ dan garis $y=2x$ adalah ...

Pembahasan:
Langkah Pertama: Gambar Grafik
Untuk mencari luas daerah yang dibentuk oleh dua kurva, kita menggambar kurva secara umum di bidang kartesius agar kita dapat membayangkan daerah yang mana yang harus kita cari luasnya. Kalau di gambar menurut kurva yang diberikan pada soal, maka akan seperti berikut:

Langkah Kedua: Memecah-mecah gambar serta menentukan titik potong kedua grafik
Yang dimaksud memecah-mecah gambar disini adalah membagi-bagi gambar menjadi beberapa bagian agar mudah meningtegralkan dan tidak menyalahi aturan dalam menentukan luas daerah integral.
Menentukan titik potong kedua kurva tersebut digunakan untuk mengetahui batas integral, dengan cara mensubstitusi kurva $y=2x$ ke kurva $y=x^{2}-2x$
$y=x^{2}-2x$
$2x=x^{2}-2x$
$x^{2}-4x=0$
$x(x-4)=0$
$x=0\ atau\ x=4$
Pembagian daerah beserta batas integral tersebut dapat dilihat dalam gambar berikut:

Langkah Ketiga: Mencari Integral dari setiap bagian tersebut
$L_1=-\int_{0}^{2}{x^{2}-2x}\ dx$

$=-\left [ \frac{1}{3}x^{3}-x^{2} \right ]\begin{matrix}2\\ \\ 0\end{matrix}$
$=-\left ( \frac{1}{3}2^{3}-2^{2} \right )-\left ( \frac{1}{3}0^{3}-0^{2} \right )$
$=-\left ( \frac{8}{3}-\frac{12}{3} \right )$
$=\frac{4}{3}$

$L_2=\int_{0}^{2}{2x}\ dx$

$=\left [ x^{2} \right ]\begin{matrix}2\\ \\ 0\end{matrix}$
$=2^{2}-0^{2}=4$

$L_3=\int_{2}^{4}\left ( f(x)-g(x) \right )\ dx$

$=\int_{2}^{4}\left ( 2x-\left ( x^{2}-2x \right ) \right )\ dx$
$=\int_{2}^{4}\left ( 4x-x^{2} \right )\ dx$
$=\left [ 2x^{2}-\frac{1}{3}x^{3} \right ]\begin{matrix}4\\ \\ 2\end{matrix}$
$=\left ( 2.4^{2}-\frac{1}{3}4^{3} \right )-\left ( 2.2^{2}-\frac{1}{3}2^{3} \right )$
$=32-8-\frac{64}{3}+\frac{8}{3}$
$=24-\frac{56}{3}$

Jadi Luas daerah yang dibentuk oleh kurva $y=x^{2}-2x$ dan garis $y=2x$ adalah
$Luas\ = L_1+L_2+L_3$

$=\frac{4}{3}+4+\left ( 24-\frac{56}{3} \right )$
$=\frac{32}{3}=10\frac{2}{3}$