Pembahasan Soal UN Integral Tentu

Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan:

• $\int {ku^{n}du}=k\frac{1}{n+1}u^{n+1}+C$;dengan $k$ adalah konstanta
• $\int_{a}^{b}{[f(x)+g(x)]dx}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}+\int_{a}^{b}{g(x)dx}$

Soal 1, UN SMA Tapel 2015/2016 Program Studi IPA
Nilai dari $\int_{-1}^{1}{(2x^{2}-4x+3)dx}=...$
A. $\frac{22}{3}$
B. $6$
C. $\frac{16}{3}$
D. $4$
E. $\frac{4}{3}$

Pembahasan
$\int_{-1}^{1}{(2x^{2}-4x+3)dx}$
$=\left [ \frac{2}{3}x^{3}-\frac{4}{2}x^{2}+3x \right ]\begin{matrix}1\\ \\-1 \end{matrix}$
$=\left [ \frac{2}{3}x^{3}-2x^{2}+3x \right ]\begin{matrix}1\\ \\-1 \end{matrix}$
$=\left ( \frac{2}{3}.1^{3}-2.1^{2}+3.1 \right )-\left ( \frac{2}{3}(-1)^{3}-2(-1)^{2}+3(-1) \right )$
$=\frac{2}{3}-2+3+\frac{2}{3}+2+3$
$=\frac{4}{6}+6$
$=\frac{4}{3}+\frac{18}{3}=\frac{22}{3}$
Jawaban A

Soal 2, UN SMA Tahun 2018 Program Studi IPS
Nilai dari $\int_{0}^{2}{(2x+4)xdx}=...$
A. $13\frac{2}{3}$
B. $13\frac{1}{3}$
C. $12\frac{1}{3}$
D. $6\frac{1}{3}$
E. $\frac{1}{3}$

Pembahasan
$\int_{0}^{2}{(2x+4)xdx}$
$=\int_{0}^{2}{(2x^{2}+4x)}dx$
$=\left [ \frac{2}{3}x^{3}+\frac{4}{2}x^{2} \right ]\begin{matrix}2\\ \\0\end{matrix}$
$=\left [ \frac{2}{3}2^{3}+\frac{4}{2}2^{2} \right ]-\left [ \frac{2}{3}0^{3}+\frac{4}{2}0^{2} \right ]$
$=\frac{16}{3}+8$
$=\frac{16}{3}+\frac{24}{3}$
$=\frac{40}{3}=13\frac{1}{3}$
Jawaban B

Sebagai latihan, di bawah ini adalah kumpulan soal UN yang pengerjaannya hampir mirip dengan di atas. Semoga berhasil

1. UN SMA Program Studi IPS Tahun 2013
   Nilai dari $\int_{-1}^{2}{(3x^{2}-2x+1)dx}$ adalah ...
   A. 3
   B. 5
   C. 7
   D. 9
   E. 17
2. UN SMA Tahun 2018 Program Studi IPS
   $\int_{-1}^{2}{(5x+1)(3x+5)dx}=...$
   A. 82
   B. 92
   C. 102
   D. 106
   E. 120
   Catatan: $(5x+1)(3x+5)=15x^{2}+28x+5$
3. UN SMA Tapel 2016-2017 Program Studi IPA
   Nilai $\int_{2}^{4}{(6x^{2}-6x-1)dx}$ adalah ...
   A. 64
   B. 68
   C. 72
   D. 74
   E. 76
4. UNBK SMA Tahun 2017
   Hasil dari $\int_{-1}^{2}{(3x^{2}+8x-5)dx}=...$
   A. 3
   B. 6
   C. 8
   D. 16
   E. 24
5. UN SMA Tapel 2014-2015 Program Studi IPA
   Nilai dari $\int_{1}^{4}{\left ( 3\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}} \right )}dx$ adalah ...
   A. 20
   B. 12
   C. 8
   D. 4
   E. 2
   Catatan: $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ dan $\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac{1}{2}}$
   

Pembahasan Soal UN Integral

Soal 1, UN SMA Tapel 2015/2016 Program Studi IPA
Hasil $\int {2x(5-x)^{3}dx}=...$
A. $-\frac{1}{10}(4x+5)(5-x)^{4}+C$
B. $-\frac{1}{10}(6x+5)(5-x)^{4}+C$
C. $-\frac{1}{10}(x+5)(5-x)^{4}+C$
D. $\frac{1}{10}(4x+5)(5-x)^{4}+C$
E. $\frac{1}{2}(5+x)^{4}+C$

Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan:
Integral Parsial: $\int {udv}=uv-\int {vdu}$

Pembahasan
Misal:
$u=2x$
$du=2dx$
$dv=(5-x)^{3}dx$
$v=\int {(5-x)^{3}dx}$

$=\int {(5-x)^{3}d(5-x)}$

$=-\frac{1}{4}(5-x)^{4}$

Maka, dengan menggunakan integral parsial di dapat
$\int {udv}=uv-\int {vdu}$

$=2x\left ( -\frac{1}{4}(5-x)^{4} \right )-\int {-\frac{1}{4}(5-x)^{4}2dx}$

$=-\frac{1}{2}x(5-x)^{4}+\frac{1}{2}\int {(5-x)^{4}dx}$

$=-\frac{1}{2}x(5-x)^{4}+\left ( -\frac{1}{2}.\frac{1}{5}(5-x)^{5} \right)+C$

$=-\frac{1}{2}x(5-x)^{4}-\frac{1}{10}(5-x)^{5}+C$

Catatan:$(A \times B)+(A \times C)=A \times (B+C)$

$=-\frac{1}{10}(5-x)^{4}(5x+(5-x))+C$

$=-\frac{1}{10}(5-x)^{4}(5x+5-x)+C$

$=-\frac{1}{10}(5-x)^{4}(4x+5)+C$

$=-\frac{1}{10}(4x+5)(5-x)^{4}+C$

Jawaban A

Soal 2, UN SMA Tapel 2015/2016 Program Studi IPA
Hasil dari $\int {sin^{5}\left ( 2x \right )cos \left ( 2x \right )dx}=...$
A. $-\frac{1}{5}sin^{6}\left ( 2x \right )+C$
B. $-\frac{1}{10}sin^{6}\left ( 2x \right )+C$
C. $-\frac{1}{12}sin^{6}\left ( 2x \right )+C$
D. $\frac{1}{12}sin^{6}\left ( 2x \right )+C$
E. $\frac{1}{10}sin^{6}\left ( 2x \right )+C$

Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan:

• $\int {ku^{n}du}=k\frac{1}{(n+1)}u^{n+1}+C$; dengan $k$ adalah konstanta
• $\frac{du}{dx}$ merupakan turunan $u$ terhadap $x$
• $u=sin \left ( ax+b \right )\Rightarrow \frac{du}{dx}=a.cos \left ( ax+b \right )$

Pembahasan
$\int {sin^{5}\left ( 2x \right )cos \left ( 2x \right )dx}=$
Misal:

$u=sin \left ( 2x \right )$

$\frac{du}{dx}=2 cos \left ( 2x \right )$

$du = 2cos \left ( 2x \right )dx$

$\frac{1}{2}du = cos \left ( 2x \right )dx$

Maka:
$\int {sin^{5}\left ( 2x \right )cos \left ( 2x \right )dx}$

$=\int {u^{5}.\frac{1}{2}du}$

$=\frac{1}{2}\int {u^{5}du}$

$=\frac{1}{2}.\frac{1}{6}u^{6}+C$

$=\frac{1}{12}sin^{6}\left ( 2x \right )+C$

Jawaban D

Soal 3, UN SMA Tapel 2015/2016 Program Studi IPA
Hasil dari $\int {\frac{x^{2}-2}{\sqrt{6x-x^{3}}}}dx=...$
A. $-\frac{3}{2}\sqrt{6x-x^{3}}+C$
B. $-\frac{2}{3}\sqrt{6x-x^{3}}+C$
C. $-\frac{1}{6}\sqrt{6x-x^{3}}+C$
D. $\frac{1}{6}\sqrt{6x-x^{3}}+C$
E. $\frac{2}{3}\sqrt{6x-x^{3}}+C$

Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan:
$\int {ku^{n}du}=k\frac{1}{(n+1)}u^{n+1}+C$; dengan $k$ adalah konstanta

Pembahasan
$\int {\frac{x^{2}-2}{\sqrt{6x-x^{3}}}}dx=...$
Misal:
$u=6x-x^{3}$
$\frac{du}{dx}=6-3x^{2}$
$du=(6-3x^{2})dx$
$-\frac{1}{3}du=(x^{2}-2)dx$
Jadi
$\int {\frac{1}{\sqrt{6x-x^{3}}}(x^{2}-2)}dx$
$=\int {\frac{1}{\sqrt{u}}\left ( -\frac{1}{3}du \right )}$
$= -\frac{1}{3}\int (u)^{-\frac{1}{2}}du$
$=-\frac{1}{3}\frac{1}{\frac{1}{2}}u^{\frac{1}{2}}+C$
$=-\frac{1}{3}.2u^{\frac{1}{2}}+C$
$=-\frac{2}{3}\sqrt{u}+C$
$=-\frac{2}{3}\sqrt{6x-x^{3}}+C$
Jawaban B

Pembahasan Soal UN Menentukan Nilai Tertentu Berdasarkan Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Soal 1, UN Matematika SMA Program Studi IPS Tahun 2013
Diketahui $p$ dan $q$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-5x-6=0$. Nilai dari $p^{2}+q^{2}-4pq=$ ...
A. 66
B. 61
C. 49
D. 37
E. 19

Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan:

• $p^{2}+q^{2}=(p+q)^{2}-2pq$
• Persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ mempunyai akar-akar $p$ dan $q$, maka $(p+q)=\frac{-b}{a}$ dan $(p.q)=\frac{c}{a}$

Pembahasan
Jika akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-5x-6=0$ adalah $p$ dan $q$, maka $p+q=\frac{-b}{a}=\frac{-(-5)}{1}=5$ dan $p.q=\frac{c}{a}=\frac{-6}{1}=-6$
$p^{2}+q^{2}-4pq=\left ( (p+q)^{2}-2pq \right )-4pq$

$=(p+q)^{2}-6pq$
$=\left (5 \right )^{2}-6.(-6)$
$=(5)^{2}+36$
$=25+36=61$

Jawaban B

Soal 2, UN Matematika SMA Tapel 2016/2017 Program Studi IPA
Persamaan kuadrat $x^{2}+kx-(2k+4)=0$ mempunyai akar-akar $\alpha$ dan $\beta$. Jika $\alpha ^{2}+\beta ^{2}=53,$ nilai $k$ yang memenuhi adalah ...
A. $k=15$ atau $k=3$
B. $k=-9$ atau $k=-5$
C. $k=9$ atau $k=5$
D. $k=-9$ atau $k=5$
E. $k=9$ atau $k=-5$

Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan:

• $p^{2}+q^{2}=(p+q)^{2}-2pq$
• Persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ mempunyai akar-akar $p$ dan $q$, maka $(p+q)=\frac{-b}{a}$ dan $(p.q)=\frac{c}{a}$

Pembahasan
Jika akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}+kx-(2k+4)=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$, maka $\alpha+\beta=\frac{-b}{a}=\frac{-k}{1}=k$ dan $\alpha.\beta=\frac{c}{a}=\frac{-(2k+4)}{1}=-(2k+4)$
$\alpha^{2}+\beta^{2}=\left ( (\alpha+\beta)^{2}-2\alpha.\beta \right )$

$53=(-k)^{2}-6(-(2k+4))$
$53=k^{2}+4k+8$
$k^{2}+4k-45=0$
$(k+9)(k-5)=0$
$k=-9$ atau $k=5$

Jawaban D

Soal-soal yang serupa:

1. UN 2018 IPS Paket 1
   Persamaan kuadrat $x^{2}-(a+2)x+a=0$ mempunyai akar-akar $p$ dan $q$. Jika $p^{2}+q^{2}=28$, maka nilai $a$ positif yang memenuhi adalah ...
   A. 1
   B. 2
   C. 3
   D. 4
   E. 6
2. UNBK SMA 2017
   $\alpha$ dan $\beta$ adalah akar-akar persamaan $2x^{2}-8x+(p+1)=0$. Jika $\alpha ^{2}+\beta ^{2}=12$, nilai $2p$ yang memenuhi adalah ...
   A. -2
   B. -1
   C. 1
   D. 2
   E. 6

Catatan Penting:
Persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ mempunyai akar-akar $p$ dan $q$, maka

• $p-q=\pm \frac{\sqrt{D}}{a}$ dengan $D=b^{2}-4ac$
• $p^{2}-q^{2}=(p+q)(p-q)$
• $p^{3}+q^{3}=(p+q)^{3}-3pq(p+q)$
• $p^{3}-q^{3}=(p-q)^{3}+3pq(p-q)$
• $p^{4}+q^{4}=\left ( p^{2}+q^{2} \right )^{2}-2(p+q)^{2}$
• $p^{4}-q^{4}=\left [ (p+q)^{2}-2pq \right ](p-q)(p+q)$

Pembahasan Soal UN SMA Materi Limit

Dibawah ini merupakan jenis soal dengan materi limit yang sering keluar saat UN. Mudah-mudahan UN 2018/2019 akan keluar juga jenis soal limit seperti ini. Jadi silahkan pelajari pembahasan berikut.

Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan beberapa soal di bawah adalah:
$\lim_{x \to \infty }\sqrt{ax^{2}+bx+c}-\sqrt{ax^{2}+qx+r}=\frac{b-q}{2\sqrt{a}}$

Soal 1, UN SMA Tapel 2017/2018 Program Studi IPA
Nilai dari $\lim_{x \to \infty }\sqrt{16x^{2}+10x-3}-4x+1=$...
A. $-\frac{9}{4}$
B. $-\frac{1}{4}$
C. $\frac{1}{4}$
D. $\frac{5}{4}$
E. $\frac{9}{4}$

Pembahasan
$\lim_{x \to \infty }\sqrt{16x^{2}+10x-3}-4x+1$
$=\lim_{x \to \infty }\sqrt{16x^{2}+10x-3}-\left(4x-1 \right )$
$=\lim_{x \to \infty }\sqrt{16x^{2}+10x-3}-\sqrt{\left(4x-1 \right )^{2}}$

Catatan: $\left ( ax+b \right )^{2}=a^{2}x^{2}+2\times a\times b\times x+b^{2}$

$=\lim_{x \to \infty }\sqrt{16x^{2}+10x-3}-\sqrt{16x^{2}-8x+1}$
$=\frac{10-(-8)}{2\sqrt{16}}$
$=\frac{18}{2.4}$
$=\frac{18}{8}$
$=\frac{9}{4}$
Jawabannya E

Soal 2, UN SMA Tapel 2016/2017 Program Studi IPA
Nilai dari $\lim_{x \to \infty }\left ( 2x-\sqrt{4x^{2}+x+3} \right )$ adalah ...
A. $-\frac{1}{2}$
B. $-\frac{1}{4}$
C. $0$
D. $\frac{1}{4}$
E. $\frac{1}{2}$

Pembahasan
$\lim_{x \to \infty }\left ( 2x-\sqrt{4x^{2}+x+3} \right )$
$\lim_{x \to \infty }\left ( \sqrt{\left ( 2x \right )^{2}}-\sqrt{4x^{2}+x+3} \right )$
$\lim_{x \to \infty }\left ( \sqrt{4x^{2}}-\sqrt{4x^{2}+x+3} \right )$
$\lim_{x \to \infty }\left ( \sqrt{4x^{2}+0x+0}-\sqrt{4x^{2}+x+3} \right )$
$=\frac{0-1}{2\sqrt{4}}$
$=\frac{-1}{2.2}$
$=\frac{-1}{4}$
$=-\frac{1}{4}$
Jawabannya B

Soal 3, UN SMA Tapel 2014/2015 Program Studi IPA
Nilai $\lim_{x \to \infty }\sqrt{x^{2}-6x+9}-(x-2)=$ adalah...
A. -1
B. -2
C. -3
D. -4
E. -5

Pembahasan
$\lim_{x \to \infty }\sqrt{x^{2}-6x+9}-(x-2)=$
$=\lim_{x \to \infty }\sqrt{x^{2}-6x+9}-\sqrt{\left(x-2 \right )^{2}}$
$=\lim_{x \to \infty }\sqrt{x^{2}-6x+9}-\sqrt{x^{2}-4x+4}$
$=\frac{-6-(-4)}{2\sqrt{1}}$
$=\frac{-6+4}{2.1}$
$=\frac{-2}{2}$
$=-1$
Jawabannya A

Soal 4, UN SMA Tapel 2014/2015 Program Studi IPA
Nilai $\lim_{x \to \infty }\sqrt{4x^{2}+4x-3}-(2x-5)=$ adalah...
A. -6
B. -4
C. -1
D. 4
E. 6

Pembahasan
$\lim_{x \to \infty }\sqrt{4x^{2}+4x-3}-(2x-5)=$
$=\lim_{x \to \infty }\sqrt{4x^{2}+4x-3}-\sqrt{(2x-5)^{2}}$
$=\lim_{x \to \infty }\sqrt{4x^{2}+4x-3}-\sqrt{4x^{2}-20x+25}$
$=\frac{4-(-20)}{2\sqrt{4}}$
$=\frac{4+20}{2.2}$
$=\frac{24}{4}$
$=6$
Jawabannya E

Pembahasan Soal UN SMA Materi Limit Trigonometri

Soal 1, UN SMA Tapel 2016/2017 Program Studi IPA
Nilai $\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x^{2}-16}{1-\sqrt{x-3}}$ adalah ...
A. -16
B. -4
C. 4
D. 16
E. 32

Pembahasan
$\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x^{2}-16}{1-\sqrt{x-3}}$
$=\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x^{2}-16}{1-\sqrt{x-3}}\times \frac{1+\sqrt{x-3}}{1+\sqrt{x-3}}$ [Kalikan dengan sekawannya]
$=\lim_{x\rightarrow 4}\frac{\left ( x^{2}-16 \right )\left ( 1+\sqrt{x-3} \right )}{\left ( 1-\sqrt{x-3} \right )\left ( 1+\sqrt{x-3} \right )}$

Catatan: $(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$

$=\lim_{x\rightarrow 4}\frac{\left ( x^{2}-16 \right )\left ( 1+\sqrt{x-3} \right )}{1^{2}-\left ( \sqrt{x-3} \right )^{2}}$
$=\lim_{x\rightarrow 4}\frac{\left ( x^{2}-16 \right )\left ( 1+\sqrt{x-3} \right )}{1-\left ( {x-3} \right )}$
$=\lim_{x\rightarrow 4}\frac{\left ( x^{2}-16 \right )\left ( 1+\sqrt{x-3} \right )}{1-x+3}$
$=\lim_{x\rightarrow 4}\frac{\left ( x^{2}-16 \right )\left ( 1+\sqrt{x-3} \right )}{4-x}$
$=\lim_{x\rightarrow 4}\frac{\left ( x^{2}-16 \right )\left ( 1+\sqrt{x-3} \right )}{4-x}$
$=\lim_{x\rightarrow 4}\frac{(x-4)(x+4)\left ( 1+\sqrt{x-3} \right )}{-(x-4)}$
$=\lim_{x\rightarrow 4}\frac{(x+4)\left ( 1+\sqrt{x-3} \right )}{-1}$
$=\frac{(4+4)\left ( 1+\sqrt{4-3} \right )}{-1}$
$=\frac{8\times2}{-1}=-16$
Jawabannya E

Soal 2, UN SMA Tapel 2015/2016 Program Studi IPA
Nilai $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos\left ( 4x \right )}{2x.sin \left ( 4x \right )}=$ ...
A. 1
B. $\frac{1}{2}$
C. 0
D. $-\frac{1}{2}$
E. -1

Pembahasan
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos\left ( 4x \right )}{2x.sin \left ( 4x \right )}$

Catatan: $cos\left ( 4x \right )=1-2sin^{2}\left ( 2x \right )$

$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\left ( 1-2sin^{2}\left ( 2x \right ) \right )}{2x.sin \left ( 4x \right )}$
$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-1+2sin^{2}\left ( 2x \right )}{2x.sin \left ( 4x \right )}$
$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2sin^{2}\left ( 2x \right )}{2x.sin \left ( 4x \right )}$
$=\frac{2}{2}\times \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin\left ( 2x \right )}{x}\times \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin\left ( 2x \right )}{sin \left ( 4x \right )}$
$=\frac{2}{2}\times\frac{2}{1} \times\frac{2}{4}=1$
Jawabannya A

Soal 3, UN SMA Tapel 2014/2015 Program Studi IPA
Nilai $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2x.tan \left ( x \right )}{1-cos^{2}\left ( 2x \right )}$ adalah ...
A. -1
B. $-\frac{1}{2}$
C. 0
D. $\frac{1}{2}$
E. 1

Pembahasan

Catatan:$sin^{2}\left ( 2x \right )+cos^{2}\left ( 2x \right )=1\Leftrightarrow 1-cos^{2}\left ( 2x \right )=sin^{2}\left ( 2x \right )$

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2x.tan \left ( x \right )}{1-cos^{2}\left ( 2x \right )}$
$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2x.tan \left ( x \right )}{sin^{2}\left ( 2x \right )}$
$=2\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{sin\left ( 2x \right )}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{tan\left ( x \right )}{sin\left ( 2x \right )}$
$=\frac{2.1}{2.2}=\frac{1}{2}$
Jawabannya D

Peluang Binomial

Distribusi Binomial
Penemu Distriusi Binomial adalah James Bernaulli sehingga dikenal sebagai distribusi Bernaulli.
Distribusi binomila harus memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:

1. Eksperimen terdiri dari $n$ buah percobaan berulang
2. Setiap percobaan memberikan dua kemungkinan hasil yaitu "berhasil" atau "gagal"
3. Peluang "berhasil" yang disebut $p$ bersifat tetap sepanjang percobaan [atau peluang dengan pengembalian], contohnya jika lambungan pertama peluang sukses adalah $\frac{1}{2}$, maka pelambungan berikutnya harus tetap yaitu $\frac{1}{2}$
4. Peluang "gagal" disebut $q$, dengan $q=1-p$.
5. Percobaan sebanyak $n$ kali adalah bersifat bebas [$Independent$], artinya hasil setiap eksperimen tidak mempengaruhi hasil dari eksperimen yang lain.

Definisi Distribusi Peluang Binomial:
$f(x)=P(X=x)=b(x,n,p)=_{x}^{n}\textrm{C}\times p^{x}\times q^{n-x}=\frac{n!}{x!(n-x)!}\times p^{x}\times q^{n-x}$
dengan: $p=$ Peluang sukses

$q=$ Peluang gagal

$n=$ Jumlah total percobaan

$x=$ Jumlah sukses dari $n$ kali percobaan

Contoh Soal

1. Peluang untuk mendapatkan 6 sisi gambar pada pelemparan sebuah uang logam sebanyak 10 kali adalah ...
   Pembahasan
   Misalkan $G$ adalah kejadian muncul sisi gambar pada pelemparan sebuah uang logam, dan $G^T$ adalah kejadian muncul sisi bukan gambar pada pelemparan sebuah uang logam, maka:
   $G=\left \{ G \right \} \rightarrow n(A)=1$ dan $S=\left \{ A,G \right \} \rightarrow n(S)=2$ karena sebuah uang logam
   $P(G)=\frac{n(G)}{n(S)}=\frac{1}{2}$ dan $P(G)+P(G^T)=1$
   
   $\frac{1}{2}+P(G^T)=1$
   $P(G^T)=\frac{1}{2}$
   Jadi, peluang untuk mendapatkan 6 sisi gambar pada pelemparan sebuah uang logam sebanyak 10 kali adalah
   $P(X=6)=_{6}^{10}\textrm{C}\times P(G)^{6}\times P(G^{T})^{10-6}$
   
   $=\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 6!}\left ( \frac{1}{2} \right )^{6}\left ( \frac{1}{2} \right )^{10-6}$
   $=10 \times 3 \times 7\left ( \frac{1}{2} \right )^{6}\left ( \frac{1}{2} \right )^{4}$
   $=210\left ( \frac{1}{2} \right )^{10}$
2. 10 persen dari semacam benda tergolong ke dalam kategori A. Sebuah sampel berukuran 30 telah diambil secara acak. Berapa peluang sampel itu akan berisikan dua buah benda kategori A
   Pembahasan
   Misalkan $A$ adalah kejadian munculnya benda kategori A. Maka $P(A)=\frac{10}{100}=0,1$
   $A^T$ adalah kejadian munculnya benda bukan kategori A. Maka
   $P(A)+P(A^{T})=1$
   $0,1+P(A^{T})=1$ $P(A^T)=0,9$
   Jadi, peluang berisikan dua benda kategori A adalah: $P(X=A)=_{2}^{30}\textrm{C}\times P(A)^{2}\times P(A^{T})^{30-2}$
   $=\frac{30 \times 29 \times 28!}{2 \times 1 \times 28!}(0,1)^{2}(0,9)^{30-2}$
   $=15 \times 29(0,1)^{2}(0,9)^{28}$
3. UN SMA Tapel 2014-2015 Program Studi IPA
   Seorang penjaga gawang profesional mampu menahan tendangan penalti dengan peluang $\frac{3}{5}$. Dalam sebuah kesempatan dilakukan 5 kali tendangan. Peluang penjaga gawang mampu menahan 3 kali tendangan penalti tersebut adalah ...
   A. $\frac{180}{625}$
   B. $\frac{612}{625}$
   C. $\frac{216}{625}$
   D. $\frac{228}{625}$
   E. $\frac{230}{625}$
   Pembahasan
   Misalkan $A$ adalah kejadian penjaga gawang profesional mampu menahan tendangan penalti, maka $P(A)=\frac{3}{5}$.
   $A^{T}$ adalah kejadian penjaga gawang profesional tidak mampu menahan tendangan penalti, maka peluangnya adalah $P(A^{T})$.
   $P(A)+P(A^{T})=1$
   $\frac{3}{5}+P(A^{T})=1$
   $P(A^{T})=1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$
   $P(X=3)=_{3}^{5}\textrm{C}\left ( P(A) \right )^{3}\left ( P(A^{T}) \right )^{(5-3)}$
   $=\frac{5!}{(5-3)!\times3!}\left( \frac{3}{5} \right )^{3}\left ( \frac{2}{5} \right )^{(5-3)}$
   $=\frac{5 \times 4 \times 3!}{2 \times 1 \times3!}\left( \frac{3}{5} \right )^{3}\left ( \frac{2}{5} \right )^{(5-3)}$
   $=5 \times 2 \times \left( \frac{3}{5} \right ) \left( \frac{3}{5} \right )^{2}\left( \frac{2}{5} \right )^{2}$
   $=\frac{216}{625}$
   Jadi, peluang penjaga gawang mampu menahan 3 kali tendangan penalti adalah $\frac{216}{625}$
   Jawaban C
   

Pembahasan Soal UN SMA Tapel 2017/2018 Materi Peluang dan Permutasi

[Soal 1]
Dari 36 siswa di sebuah kelas, 20 siswa suka olahraga renang, 15 siswa suka olahraga basket, dan 6 siswa tidak suka kedua-duanya. Bila dipilih seorang siswa secara acak, peluang siswa yang terpilih suka kedua jenis olahraga tersebut adalah ...
A. $\frac{1}{9}$
B. $\frac{5}{36}$
C. $\frac{1}{6}$
D. $\frac{1}{4}$
D. $\frac{5}{18}$

Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan
Peluang suatu kejadian $A$ adalah hasil bagi antara kejadian $A$ dengan banyaknya hasil yang mungkin terjadi [ruang sampel]
$p(x)=\frac{n(A)}{n(s)}$
Dimana, $p(x)=$ Peluang kejadian $A$

$n(A)=$ Banyak kejadian $A$

$n(s)=$ Banyak ruang sampel

Pembahasan
Banyak siswa suka renang + Banyak siswa suka olahraga basket + Banyak siswa yang tidak suka keduanya - Banyak siswa yang suka keduanya = Total siswa
atau bisa gunakan diagram venn seperti berikut.

$20+15+6-x=36$
$41-x=36$
$x=5$, dimana $x$ merupakan banyak siswa yang suka basket dan renang. Maka
$p(x)=\frac{n(A)}{n(s)}=\frac{5}{36}$
Dimana, $p(x)=$ Peluang siswa yang suka basket dan renang

$n(A)=$ Banyak siswa yang suka basket dan renang

$n(s)=$ Banyak siswa semuanya

Jawaban B

[Soal 2]
Arkan akan membuat password untuk alamat emailnya yang terdiri dari 5 huruf kemudian diikuti oleh 2 angka yang berbeda. Jika huruf yang disusun berasal dari pembentuk kata pada namanya, banyaknya password yang dibuat adalah ...
A. 1800
B. 2160
C. 2700
D. 4860
E. 5400

Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan

• Permutasi merupakan pengelompokan/susunan unsur dengan memperhatikan urutan.
  Permutasi dengan sebagian unsur merupakan banyaknya permutasi/susunan $k$ unsur dari $n$ unsur yang berbeda, dapat ditulis dengan rumus $_{k}^{n}\textrm{p}=\frac{n!}{(n-k)!}; k\leq n$
• Permutasi unsur yang sama merupakan banyaknya permutasi $n$ unsur memuat $k$ unsur yang sama, $l$ unsur yang sama, dan $m$ unsur yang sama [$k+l+m\leq n$] dapat ditulis dengan rumus $p=\frac{n!}{k!\times l! \times m!}$
• "dan" artinya "kali $(\times)$"
  "atau" artinya "jumlah $(+)$"

Pembahasan
Untuk lebih mudah memahami, akan kita bagi dua pembahasannya.
Pertama akan kita cari susunan huruf-huruf
Kedua akan kita cari susunan angka
Perlu diingat bahwa susunan password adalah susunan 5 huruf dan susunan 2 angka, artinya tidak ada angka diantara huruf maupun huruf diantara angka.

• Pasword terdiri dari 5 huruf dari huruf "A,R,K,A,N". Ini berarti banyak susunan huruf tersebut merupakan banyaknya password yang dapat dibentuk. Oleh karena itu, gunakan Permutasi unsur yang sama dengan susunan 5 unsur memuat 2 unsur yang sama [unsur yang sama adalah huruf "A" sebanyak 2 buah], maka
  $p=\frac{5!}{2!}$
  
  $=\frac{5\times 4 \times 3 \times 2!}{2!}$
  $=5\times 4 \times 3 = 90$
• Password terdiri dari 2 angka dari angka "0,1,2,3,4,5,6,7,8,9". Ini berarti banyak susunan 2 unsur dari 10 unsur yang ada, maka
  $_{2}^{10}\textrm{p}=\frac{10!}{(10-2)!}$
  $=\frac{10\times 9\times 8!}{(8!)!}$
  $=10\times 9=90$

Maka, banyaknya susunan password yang dapat dibentuk adalah $60\times 90=5.400$
Jawaban E
Lihat soal peluang lainnya

Pembahasan Soal Turunan Fungsi Aljabar

No 1, UN SMA Tapel 2017-2018 Program Studi IPA
Diketahui $f(x)=5x-3$ dan $g(x)=4x^{2}-3x$. Jika $h(x)=f(x).g(x)$ dan $h'(x)$ merupakan turunan dari $h(x)$, maka $h'(x)=$...
A. $40x-5$
B. $-20x^{2}+24x-9$
C. $20x^{3}-27x^{2}+9x$
D. $20x^{2}+25x-15$
E. $60x^{2}-54x+9$

Konsep yang digunakan dalam perhitungan:
$y=ax^{n}\rightarrow y'=a.nx^{n-1}$
Jika $h(x)=f(x).g(x)$, maka $h'(x)=f'(x).g(x)+f(x).g'(x)$

Pembahasan:
Diketahui:

$f(x)=5x-3$
$g(x)=4x^{2}-3x$
$h(x)=f(x).g(x)$

Ditanyakan:

$h'(x)=...?$

Jawab:
$f(x)=5x-3\rightarrow f'(x)=5$
$g(x)=4x^{2}-3x\rightarrow g'(x)=8x-3$
Maka:
$h(x)=f(x).g(x)$
$h'(x)=f'(x).g(x)+f(x).g'(x)$
$h'(x)=5\left(4x^{2}-3x\right)+\left(5x-3\right).\left(8x-3\right)$
$h'(x)=20x^{2}-15x+40x^{2}-39x+9$
$h'(x)=60x^{2}-54x+9$
Jawaban E

No 2, UN SMA Tapel 2016-2017 Program Studi IPA
Jika fungsi $f(x)=\frac{2x+3}{x-5},x\neq 5$ dan $g(x)=3x+1$ maka $\left ( g\circ f \right )^{-1}(x)=$...
A. $\frac{5x+4}{x+7},x\neq -7$
B. $\frac{5x+7}{x-4},x\neq 4$
C. $\frac{5x+4}{x-7},x\neq 7$
D. $\frac{5x-4}{x-7},x\neq 7$
E. $\frac{5x-7}{x-4},x\neq 4$

Konsep yang digunakan dalam perhitungan:

• $\left ( g\circ f \right )(x)=g\left ( f(x) \right )$
• Misalkan $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$, dan $f^{-1}(x)$ menyatakan invers dari $f(x)$ maka $f^{-1}(x)=\frac{dx-b}{-cx+a}$

Pembahasan:
Diketahui:

$f(x)=\frac{2x+3}{x-5}, x\neq 5$
$g(x)=3x+1$

Ditanyakan:

$\left ( g\circ f \right )^{-1}(x)=$...

Jawab:
$\left ( g\circ f \right )^{-1}(x)$ merupakan invers dari $\left ( g\circ f \right )(x)$
$\left ( g\circ f \right )(x)=g\left ( f(x) \right )$

$=g\left (\frac{2x+3}{x-5} \right )$

$=3\left ( \frac{2x+3}{x-5} \right )+1$

$=\frac{6x+9}{x-5}+\frac{x-5}{x-5}$

$=\frac{7x+4}{x-5}$

Maka $\left ( g\circ f \right )(x)=\frac{7x+4}{x-5} \Rightarrow \left ( g\circ f \right )^{-1}(x)=\frac{-5x-4}{-x+7}=\frac{5x+4}{x-7},x\neq 7$
Jawaban C

No 3, UN SMA Tapel 2016-2017 Program Studi IPS
Jika $f'(x)$ turunan pertama dari $f(x)=x^{3}-9x+5$, maka nilai $f'(1)$ adalah ...
A. -12
B. -6
C. 0
D. 6
E. 12

Konsep yang digunakan dalam perhitungan:
Jika $y=ax^{n}$, maka turunannya adalah $y'=n.ax^{n-1}$

Pembahasan:
Diketahui:

$f(x)=x^{3}-9x+5$

Ditanyakan:

$f'(1)=...?$

Jawab:
$f'(x)=3x^{2}-9$
$f'(1)=3.1^{2}-9$

$=3-9=-6$

Jawaban B

Pembahasan Soal UN SMA Materi Trigonometri

Soal 1, Pembahasan Soal UN SMA Tapel 2017/2018
Pada sebuah segitiga siku-siku diketahui $sin \left(\alpha \right)=a$, maka nilai $tan \left(\alpha \right)=$ ....
A. $-\frac{a}{\sqrt{a^{2}-1}}$
B. $-\frac{1}{\sqrt{a^{2}-1}}$
C. $-\frac{a}{\sqrt{a^{2}-1}}$
D. $\frac{a}{\sqrt{1-a^{2}}}$
E. $\frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}$

Konsep yang digunakan dalam perhitungan:

1. $sin \left(\alpha \right)=\frac{depan}{miring}$
2. $tan \left(\alpha \right)=\frac{depan}{samping}$
3. Rumus Pythagoras yang berbunyi sisi miring kuadrat sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi lainnya [Sejarah singkat Teorema Pythagoras]

Pembahasan
$sin \left(\alpha \right)=a$, maka dapat dibuat segitiga seperti di bawah ini

$AB=\sqrt{(AC)^{2}-(BC)^{2}}$
$AB=\sqrt{(1)^{2}-(a)^{2}}$
$AB=\sqrt{1-a^{2}}$
Maka di dapat, $tan\left(\alpha \right )= \frac{a}{\sqrt{1-a^{2}}}$
Jawaban D

Soal 2, Pembahasan Soal UN SMA Tapel 2016-2017 Program Studi IPA
Diketahui $sin \left(\alpha \right) cos \left(\beta \right)=\frac{1}{3}$ dan $\left(\alpha+\beta\right)=\frac{5\pi}{6}$. Nilai $sin\left(\alpha-\beta \right)=$...
A. $-\frac{5}{6}$
B. $-\frac{1}{2}$
C. $-\frac{1}{6}$
D. $\frac{1}{6}$
E. $\frac{1}{2}$

Konsep yang digunakan dalam perhitungan:
Rumus jumlah dan selisih sudut trigonometri:

• $sin \left ( \alpha +\beta \right )=sin\left ( \alpha \right )cos\left ( \beta \right )+cos \left ( \alpha \right )sin\left ( \beta \right )$
• $sin \left ( \alpha -\beta \right )=sin\left ( \alpha \right )cos\left ( \beta \right )-cos \left ( \alpha \right )sin\left ( \beta \right )$

Pembahasan
Di soal diketahui bahwa $\left ( \alpha +\beta \right )=\frac{5\pi}{6}$, kita akan sama-sama cari nilai "sin" nya, ruas kiri sama dengan maupun ruas kanan sama dengan, maka di dapat:
$sin\left ( \alpha +\beta \right )=sin\left ( \frac{5\pi}{6} \right )$
$sin\left ( \alpha \right )cos\left ( \beta \right )+cos\left ( \alpha \right )sin\left ( \beta \right )=\frac{1}{2}$
$\frac{1}{3}+cos\left ( \alpha \right )sin\left ( \beta \right )=\frac{1}{2}$
$cos\left ( \alpha \right )sin\left ( \beta \right )=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$
$cos\left ( \alpha \right )sin\left ( \beta \right )=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{1}{6}$

Jadi $sin\left ( \alpha -\beta \right )=sin\left ( \alpha \right )cos\left ( \beta \right )-cos\left ( \alpha \right )sin\left ( \beta \right )$

$=\frac{1}{3}-\frac{1}{6}$

$=\frac{2}{6}-\frac{1}{6}=\frac{1}{6}$

Jawaban D

Soal 3, Pembahasan Soal UN SMA Tapel 2016-2017 Program Studi IPA
Nilai dari $\frac{sin\left ( 40^{o} \right )-sin\left ( 20^{o} \right )}{cos\left ( 40^{o} \right )-cos\left ( 20^{o} \right )}$ adalah ...
A. $-\sqrt{3}$
B. $-\frac{1}{3}\sqrt{3}$
C. $\frac{1}{3}\sqrt{3}$
D. $\sqrt{2}$
E. $\sqrt{3}$

Konsep yang digunakan dalam perhitungan:
Rumus penjumlahan/pengurangan fungsi trigonometri

• $sin\left ( \alpha \right )-sin\left ( \beta \right)= 2cos\left ( \frac{\alpha +\beta }{2} \right ).sin \left ( \frac{\alpha -\beta }{2} \right )$
• $cos\left ( \alpha \right )-cos\left ( \beta \right )=-2sin\left ( \frac{\alpha +\beta }{2} \right ).sin \left ( \frac{\alpha -\beta }{2} \right )$

Pembahasan
Kita akan olah pembilang maupun penyebutnya, maka di dapat:
$\frac{sin\left ( 40^{o} \right )-sin\left ( 20^{o} \right )}{cos\left ( 40^{o} \right )-cos\left ( 20^{o} \right )}$
$=\frac{2cos\left ( \frac{40^{o}+20^{o}}{2} \right ).sin \left ( \frac{40^{o}-20^{o}}{2} \right ) }{-2sin\left ( \frac{40^{o}+20^{o}}{2} \right ).sin\left ( \frac{40^{o}-20^{o}}{2} \right )}$
$=\frac{2cos \left ( 30^{o} \right ).sin\left ( 10^{o} \right )}{-2sin \left ( 30^{o} \right ).sin\left ( 10^{o} \right )}$
$=-\frac{cos\left ( 30^{o} \right )}{sin\left ( 30^{o} \right )}$
$=-\frac{\frac{1}{2}\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}=-\sqrt{3}$
Jawaban A

Soal 4, Soal UN SMA Tapel 2016 - 2017 Program Studi IPS
Himpunan penyelesaian persamaan $2cos\left ( x \right )+1=0$, $0^{o}\leq x\leq 360^{o}$ adalah ...
A. $\left \{60^{o},120^{o},240^{o},300^{o}\right \}$
B. $\left \{60^{o},120^{o},240^{o}\right \}$
C. $\left \{60^{o},120^{o}\right \}$
D. $\left \{120^{o},240^{o}\right \}$
E. $\left \{240^{o},300^{o}\right \}$

Konsep yang digunakan dalam perhitungan:
Jika $cos\left ( x \right )=cos\left ( \alpha \right )$, maka $x=\pm \alpha +k.360^{o}$

Pembahasan
Dari soal bahwa $2cos\left ( x \right )+1=0$

$2cos\left ( x \right )=-1$

$cos\left ( x \right )=-\frac{1}{2}$

$cos\left ( x \right )=cos\left ( 120^{o} \right )$, dari sini di dapat $\alpha =120^{o}$

Berdasarkan rumus di atas, maka $x=\pm 120^{o} +k.360^{o}$
kasus pertama, ambil $x=120^{o} +k.360^{o}$

• $k=-1 \Rightarrow x=120^{o} +(-1).360^{o}=-240^{o}$ [tidak memenuhi dan kita tidak perlu ngecek untuk $k<-1 360="" di="" k="-1$" karena="" leq="" li="" memenuhi="" o="" rentang="" saja="" sudah="" tidak="" untuk="" x="">
  
  
  
• $k=0 \Rightarrow x=120^{o} +0.360^{o}=120^{o}$[memenuhi]




• $k=1 \Rightarrow x=120^{o} +1.360^{o}=480^{o}$ [tidak memenuhi dan kita tidak perlu ngecek untuk $k>1$, karena untuk $k=1$ saja sudah tidak memenuhi di rentang $0^{o}\leq x\leq 360^{o}$

kasus kedua, ambil $x=-120^{o} +k.360^{o}$

• $k=-1 \Rightarrow x=-120^{o} +(-1).360^{o}=-480^{o}$ [tidak memenuhi dan kita tidak perlu ngecek untuk $k<-1 360="" di="" k="-1$" karena="" leq="" li="" memenuhi="" o="" rentang="" saja="" sudah="" tidak="" untuk="" x="">
  
  
  
• $k=0 \Rightarrow x=-120^{o} +0.360^{o}=-120^{o}$ [tidak memenuhi]




• $k=1 \Rightarrow x=-120^{o} +1.360^{o}=240^{o}$[memenuhi]




• $k=2 \Rightarrow x=-120^{o} +2.360^{o}=600^{o}$[tidak memenuhi dan kita tidak perlu ngecek untuk $k>2$, karena untuk $k=2$ saja sudah tidak memenuhi di rentang $0^{o}\leq x\leq 360^{o}$



Maka yang memenuhi adalah $\left \{120^{o},240^{o}\right \}$
Jawaban D