Pembahasan Soal UN Garis Singgung

Soal 1, UN SMA Tapel 2017/2018 Program studi IPA
Persamaan garis singgung kurva $y=x^{2}-5x+12$ yang sejajar dengan garis $3x-y+5=0$ adalah ...
A. $3x-y+4=0$
B. $3x-y-4=0$
C. $3x-y-20=0$
D. $x-3y-4=0$
E. $x-3y+4=0$

Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan:

• Gradien garis singgung kurva $y=f(x)$ di titik $(x_1,y_1)$ adalah $m=f'(x_1)$, dengan $f'(x)$ turunan dari $f(x)$
• Persamaan garis singgung dengan gradien $m$ dan sebuah titik $(x_1,y_1)$ adalah $y-y_1=m(x-x_1)$
• Persamaan garis $ax+by+c=0$ mempunyai gradien $m$, dengan $m=-\frac{a}{b}$
• Dua garis dikatakan sejajar apabila gradiennya sama, yaitu $m_1=m_2$

Pembahasan
$3x-y+5=0$ mempunyai gradien $m_1=-\frac{3}{(-1)}=3$
Gradien garis singgung kurva $y=x^{2}-5x+12$ adalah $m_2=y'=2x-5$
Karena garis $3x-y+5=0$ sejajar dengan garis singgung kurva $y=x^{2}-5x+12$, maka gradiennya sama
$m_1=m_2$
$3=2x-5$
$8=2x\rightarrow x=4$
Untuk mencari $y$, substitusi $x=4$ ke persamaan $y=x^{2}-5x+12$
$y=4^{2}-5.4+12$
$y=16-20+12$
$y=8$
Maka persamaan garis singgung kurva $y=x^{2}-5x+12$ mempunyai gradien $m_2=3$ dan melalui titik $(4,8)$
$y-y_{1}=m(x-x_{1})$
$y-8=3(x-4)$
$y-8=3x-12$
$y=3x-12+8$
$y=3x-4$
$3x-y-4=0$
Jawaban B

Soal yang sejenis

1. UN SMA Tapel 2017/2018 Program studi IPA
   Persamaan garis singgung grafik $y=x^{2}-4x-5$ yang sejajar dengan garis $2x-y-6=0$ adalah ...
   A. $2x-y-19=0$
   B. $2x-y-14=0$
   C. $2x-y-11=0$
   D. $2x-y+2=0$
   E. $2x-y+5=0$
   

Soal 1, UN SMA Tapel 2016/2017 Program studi IPA
Diketahui grafik fungsi $y=2x^{2}-3x+7$ berpotongan dengan garis $y=4x+1$. Salah satu persamaan garis singgung yang melalui titik potong kurva dan garis tersebut adalah ...
A. $y=5x+7$
B. $y=5x-1$
C. $y=x+5$
D. $y=3x-7$
E. $y=3x+5$

Pembahasan
Karena fungsi $y=2x^{2}-3x+7$ berpotongan dengan garis $y=4x+1$, maka kita perlu mencari titik potong kedua fungsi tersebut.
$2x^{2}-3x+7=4x+1$
$2x^{2}-7x+6=0$
$(2x-3)(x-2)=0$
$x_1=\frac{3}{2}\ atau\ x_2=2$
Substitusi $x_1=\frac{3}{2}$ dan $x_2=2$ ke persamaan $y=4x+1$

Untuk $x=\frac{3}{2}$ maka di dapat $y=4.\frac{3}{2}+1=7$. Jadi titiknya $(\frac{3}{2},7)$
Untuk $x=2$ maka di dapat $y=4.2+1=9$. Jadi titiknya $(2,9)$

$y=2x^{2}-3x+7 \mapsto y'=4x-3$
$x_1=\frac{3}{2} \mapsto m_1=y'=4.\frac{3}{2}-3=3$
$x_2=2 \mapsto m_2=y'=4.2-3=5$
Jadi terdapat dua garis singgung
Pertama garis singgung kurva yang melalui titik $(\frac{3}{2},7)$ dan mempunyai gradien 3
$y-y_1=m(x-x_1)$
$y-7=3(x-\frac{3}{2})$
$y=3x-\frac{9}{2}+7$
$y=3x+\frac{5}{3}$
Kedua garis singgung kurva yang melalui titik $(2,9)$ dan mempunyai gradien 5
$y-y_1=m(x-x_1)$
$y-9=5(x-2)$
$y=5x-10+9$
$y=5x-1$
Jawaban B

UN Matematika Program Studi IPS Tahun 2013
Diketahui fungsi $f(x)=\frac{2x-1}{3x-1}$. Turunan pertama fungsi $f(x)$ adalah $f'(x)$. Nilai dari $f'(1)=...$
A. -3
B. $\frac{1}{4}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{2}{3}$
E. $\frac{5}{2}$
Pembahasan
Misal:
$u=2x-1$
$u'=2$
$v=3x-1$
$v'=3$
$f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$
     $=\frac{2(3x-1)-(2x-1)3}{(3x-1)^{2}}$
     $=\frac{6x-2-6x+3}{(3x-1)^{2}}$
     $=\frac{1}{(3x-1)^{2}}$
$f'(1)=\frac{1}{(3.1-1)^{2}}=\frac{1}{4}$

Pembahasan Soal UN SMA Membuat Persamaan Kuadrat Baru

Soal 1, UN SMA Tapel 2016/2017 Program Studi IPA
Akar-akar persamaan kuadrat $3x^{2}-x-4=0$ adalah $x_1$ dan $x_2$. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $(3x_1-1)$ dan $(3x_2-1)$ adalah ...
A. $x^{2}-x-38=0$
B. $x^{2}+x-32=0$
C. $x^{2}+x+12=0$
D. $x^{2}+x-12=0$
E. $x^{2}-x-12=0$

Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan:

• Persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ mempunyai akar-akar $p$ dan $q$, maka $p+q=\frac{-b}{a}$ dan $p.q=\frac{c}{a}$
• Persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar $p$ dan $q$ adalah $x^{2}-(p+q)x+p.q=0$

Pembahasan
Berdasarkan persamaan kuadrat $3x^{2}-x-4=0$ yang mempunyai akar-akar $x_1$ dan $x_2$ di dapat $(x_1+x_2)=-\frac{(-1)}{3}=\frac{1}{3}$ dan $(x_1.x_2)=\frac{(-4)}{3}=-\frac{4}{3}$.
Persamaan kuadrat baru yang kita cari adalah $x^{2}-(p+q)x+p.q=0$ dengan akar-akarnya $p=3x_1-1$ dan $q=3x_2-1$, maka
$p.q=\left ( 3x_1-1 \right )\left ( 3x_2-1 \right )$

$=9x_1.x_2-3(x_1+x_2)+1$
$=9\left ( -\frac{4}{3} \right )-3\left ( \frac{1}{3} \right )+1$
$=-12-1+1=-12$

$p+q=(3x_1-1)+(3x_2-1)$

$=3\left ( x_1+x_2 \right )-2$
$=3\left ( \frac{1}{3} \right )-2$
$=1-2=-1$

Maka persamaan kuadrat baru adalah
$x^{2}-(p+q)x+p.q=0$
$x^{2}-(-1)x+(-12)=0$
$x^{2}+x-12=0$
Jawaban D

Soal 2, UN SMA Tapel 2014/2015 Program Studi IPA
Persamaan kuadrat $x^{2}+5x-4=0$ mempunyai akar-akar $\alpha$ dan $\beta$. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $(\alpha+2)$ dan $(\beta+2)$ adalah ...
A. $x^{2}+x-14=0$
B. $x^{2}+x-6=0$
C. $x^{2}+x-10=0$
D. $x^{2}-9x-10=0$
E. $x^{2}+9x-14=0$

Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan:

• Persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ mempunyai akar-akar $p$ dan $q$, maka $p+q=\frac{-b}{a}$ dan $p.q=\frac{c}{a}$
• Persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar $p$ dan $q$ adalah $x^{2}-(p+q)x+p.q=0$

Pembahasan
Berdasarkan persamaan kuadrat $x^{2}+5x-4=0$ mempunyai akar-akar $\alpha$ dan $\beta$ di dapat $(\alpha+\beta)=-\frac{5}{1}=-5$ dan $(\alpha.\beta)=\frac{(-4)}{1}=-4$.
Persamaan kuadrat baru yang kita cari adalah $x^{2}-(p+q)x+p.q=0$ dengan akar-akarnya $p=\alpha+2$ dan $q=\beta+2$, maka
$p.q=\left ( \alpha+2 \right )\left ( \beta+2 \right )$

$=\alpha .\beta +2\left ( \alpha +\beta \right )+4$
$=-4+2(-5)+4=-10$

$(\alpha +2)+\left ( \beta +2 \right )=\alpha +\beta +4$

$=-5+4=-1$

Maka persamaan kuadrat baru adalah
$x^{2}-(p+q)x+p.q=0$
$x^{2}-(-1)x+(-10)=0$
$x^{2}+x-10=0$
Jawaban C

Sebagai latihan, silahkan jawab soal berikut dengan langkah-langkah yang hampir sama dengan contoh di atas.

1. UN Tahun 2018 Program Studi IPS Paket 1
   Jika akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-3x+5=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $(\alpha +2)$ dan $(\beta +2)$ adalah ...
   A. $x^{2}+7x+15=0$
   B. $x^{2}-7x+15=0$
   C. $x^{2}+x+3=0$
   D. $x^{2}+x-3=0$
   E. $x^{2}-x-15=0$
2. UNBK Tahun 2017
   Jika $\alpha$ dan $\beta$ adalah akar-akar persamaan $2x^{2}-3x+4=0$, persamaan kuadrat yang akar-akarnya $(2\alpha +1)$ dan $(2\beta +1)$ adalah ....
   A. $x^{2}-12x+5=0$
   B. $x^{2}+5x-12=0$
   C. $x^{2}+5x+12=0$
   D. $x^{2}-5x+12=0$
   E. $x^{2}-5x-12=0$
3. UN Tapel 2016/2017 Program Studi IPS
   Diketahui $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-6x-5=0$. persamaan kuadrat yang akar-akarnya $(2x_1+1)$ dan $(2x_2+1)$ adalah ...
   A. $x^{2}-14x-31=0$
   B. $x^{2}-14x-8=0$
   C. $x^{2}-14x-7=0$
   D. $x^{2}+10x-31=0$
   E. $x^{2}+10x-8=0$

Menentukan Asimtot Datar dan Tegak Suatu Fungsi

ASIMTOT DATAR

Untuk menentukan asimtot datar yaitu dengan cara menghitung nilai limit fungsi untuk $x\rightarrow \infty$

Kasus 1. Fungsi dengan bentuk $f(x)=\frac{b}{ax}$

Maka asimtot datarnya berbentuk $y=\lim_{x\rightarrow \infty }{\frac{b}{ax}}=0$. Maka asimtot datarnya adalah $y=0$.

Kasus 2. Fungsi dengan bentuk $f(x)=\frac{ax^{2}+bx+c}{px^{2}+qx+r}$

Maka asimtot datarnya berbentuk $y=\lim_{x\rightarrow \infty }{\frac{ax^{2}+bx+c}{px^{2}+qx+r}}=\frac{a}{p}$. Maka asimtot datarnya adalah $y=\frac{a}{p}$.

Kasus 3. Fungsi dengan bentuk $f(x)=\frac{ax^{2}+bx+c}{px+q}$

Jika kita menghitung nilai limit fungsi untuk $x\rightarrow \infty$, yaitu $y=\lim_{x\rightarrow \infty }{\frac{ax^{2}+bx+c}{px+q}}=\infty$. Karena hasilnya $\infty$, maka fungsi di atas tidak mempunyai asimtot datar.

Kesimpulan:

• $f(x)=\frac{ax^{n}+bx^{n-1}+cx^{n-2}+...+g}{px^{m}+qx^{m-1}+rx^{m-2}+...+u}$, dengan $n> m$, maka fungsi $f(x)$ tidak mempunyai asimtot datar.
• $f(x)=\frac{ax^{n}+bx^{n-1}+cx^{n-2}+...+g}{px^{m}+qx^{m-1}+rx^{m-2}+...+u}$, dengan $n=m$, maka fungsi $f(x)$ mempunyai asimtot datar di $y=\frac{a}{p}$
• $f(x)=\frac{ax^{n}+bx^{n-1}+cx^{n-2}+...+g}{px^{m}+qx^{m-1}+rx^{m-2}+...+u}$, dengan $n< m$, maka fungsi $f(x)$ mempunyai asimtot datar di $y=0$

ASIMTOT TEGAK

Untuk menentukan asimtot tegak dengan cara menentukan harga $x$ sehingga $y$ mendekati tak hingga.

Kasus 1. Fungsi dengan bentuk $f(x)=\frac{b}{ax}$

Fungsi di atas akan bernilai tak hingga saat $x$ mendekati $0$. Maka asimtot tegaknya adalah $x=0$

Kasus 2. Fungsi dengan bentuk $f(x)=\frac{ax^{2}+bx+c}{px+q}$

Fungsi di atas akan bernilai tak hingga saat $x$ mendekati $\frac{-q}{p}$

Kesimpulan:
Suatu fungsi akan mempunyai asimtot tegak jika fungsi tersebut berbentuk fungsi pecahan. Asimtot dari fungsi tersebut adalah pembuat nol dari penyebutnya.

Contoh Soal 1:
Tentukan asimtot tegak dan asimtot datar dari grafik $y=\frac{x^{2}-4}{x^{2}-3x-4}$
Jawab

• Asimtot Datar
  Karena pangkat tertinggi penyebutnya adalah 2 dan pangkat tertinggi pembilangnya juga 2 maka berdasarkan materi asimtot datar di atas, asimtot datarnya adalah $y=\frac{1}{1}=1$
• Asimtot Tegak
  Ingat bahwa asimtot tegak dari fungsi adalah pembuat nol dari penyebutnya, maka
  $x^{2}-3x-4=0$
  $(x+1)(x-4)=0$
  $x=-1\ atau\ x=4$
  Maka asimtot tegaknya adalah $x=-1$ dan $x=4$

Jika kita sketsa grafik di atas, akan tampak seperti di bawah ini

Contoh Soal 2:
Tentukan asimtot tegak dan asimtot datar dari grafik $y=\frac{x+1}{x^{2}-4x-12}$
Jawab

• Asimtot Datar
  Karena pangkat tertinggi penyebutnya adalah 2 dan pangkat tertinggi pembilangnya juga 1 maka berdasarkan materi asimtot datar di atas, asimtot datarnya adalah $y=0$
• Asimtot Tegak
  Ingat bahwa asimtot tegak dari fungsi adalah pembuat nol dari penyebutnya, maka
  $x^{2}-4x-12=0$
  $(x+2)(x-6)=0$
  $x=-2\ atau\ x=6$
  Maka asimtot tegaknya adalah $x=-2$ dan $x=6$

Jika kita sketsa grafik di atas, akan tampak seperti di bawah ini

Pembahasan Soal UN Materi Logaritma

Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan:

• $^{a}log\ b+^{a}log\ c=^{a}log\ b.c$
• $^{a}log\ b-^{a}log\ c=^{a}log\ \left ( \frac{b}{c} \right )$
• $^{a}log\ b\ ^{b}log\ c=^{a}log\ c$
• $^{a^{n}}log\ b^{m}=\frac{m}{n}\ ^{a}log\ b$

Soal 1. UN SMA Tapel 2014/2015 Program Studi IPA
Hasil $\frac{^{7}log\ 16\sqrt{2}\ ^{2\sqrt{2}}log\ \frac{1}{49}+^{2}log\ \frac{1}{16}}{^{5}log\ 5\sqrt{5}+^{2}log\ 25\sqrt{5}}$ adalah ...
A. $10$
B. $\frac{5}{2}$
C. $\frac{-7}{2}$
D. $\frac{-5}{2}$
E. $-10$

Pembahasan
$\frac{^{7}log\ 16\sqrt{2}\ ^{2\sqrt{2}}log\ \frac{1}{49}+^{2}log\ \frac{1}{16}}{^{5}log\ 5\sqrt{5}+^{2}log\ 25\sqrt{5}}$

$=\frac{^{7}log\ 2^{4}.2^{\frac{1}{2}}\ ^{2.2^{\frac{1}{2}}}log\ 7^{-2}+^{2}log\ 2^{-4}}{^{5}log\ 125.5}$
$=\frac{^{7}log\ 2^{\frac{9}{2}}\ ^{2^{\frac{3}{2}}}log\ 7^{-2}+^{2}log\ 2^{-4}}{^{5}log\ 5^{4}}$
$=\frac{\left ( \frac{9}{2} \right )\left ( \frac{1}{\frac{3}{2}} \right )(-2)\ ^{7}log\ 2\ ^{2}log\ 7+(-4)\ ^{2}log\ 2}{4\ ^{5}log\ 5}$
$=\frac{(3)(-2)\ ^{7}log\ 7+(-4).1}{4.1}$
$=\frac{(-6)+(-4)}{4}$
$=\frac{(-10)}{4}$
$=\frac{-5}{2}$

Jawaban D

Soal 2. UN SMA Tapel 2016/2017 Program Studi IPS
Hasil dari $^{7} log 4.\ ^{2} log 5+ ^{7}log \frac{49}{25}=$ ...
A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $4$
E. $5$

Pembahasan
$^{7} log 4.\ ^{2} log 5+ ^{7}log \frac{49}{25}$

$= ^{7} log 2^{2}.\ ^{2} log 5+ ^{7}log \frac{7^{2}}{5^{2}}$
$= 2.\ ^{7} log 2.\ ^{2} log 5+ ^{7}log \left (\frac{7}{5} \right )^{2}$
$= 2.\ ^{7} log 5+ 2.\ ^{7}log \left (\frac{7}{5} \right )$
$= 2. \left ( ^{7} log 5+\ ^{7}log \left (\frac{7}{5} \right ) \right )$
$= 2.\ ^{7} log\ 5.\frac{7}{5}$
$= 2.\ ^{7} log\ 7=2$

Jawaban B

Soal 3. UN SMA Tapel 2016/2017 Program Studi IPA
Hasil $\frac{^{\sqrt{3}} log\ 5\ ^{25} log\ 3\sqrt{3}-^{4} log\ 16}{^{3} log\ 54-^{3} log\ 2}$ adalah ...
A. $-\frac{9}{2}$
B. $-\frac{1}{6}$
C. $-\frac{1}{3}$
D. $3$
E. $\frac{9}{2}$

Pembahasan
$\frac{^{\sqrt{3}} log\ 5\ ^{25} log\ 3\sqrt{3}-^{4} log\ 16}{^{3} log\ 54-^{3} log\ 2}$

$=\frac{^{3^{\left ( \frac{1}{2} \right )}} log\ 5\ ^{5^{5}} log\ 3^{\left ( \frac{3}{2} \right )}-^{4} log\ 4^{2}}{^{3} log\ \frac{54}{2}}$
$=\frac{\frac{1}{\frac{1}{2}}.\frac{1}{2}.\frac{3}{2}\ ^{3} log\ 5\ ^{5} log\ 3-2.\ ^{4} log\ 4}{^{3} log\ 27}$
$=\frac{\frac{3}{2}\ ^{3} log\ 3-2.1}{^{3} log\ 3^{3}}$
$=\frac{\frac{3}{2}\ ^{3} log\ 3-2.1}{3.\ ^{3} log\ 3}$
$=\frac{\frac{3}{2}.1-2.1}{3.1}$
$=\frac{\frac{3}{2}-2}{3}$
$=-\frac{1}{6}$

Jawaban B

Pembahasan Soal UN SMA Materi Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Soal 1, UN SMA Tapel 2017-2018 Program Studi IPA
Persamaan garis singgung pada lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x+4y+4=0$ yang tegak lurus garis $5x+12y-12=0$ adalah ...
A. $12x-5y=7$ atau $12x-5y=85$
B. $12x+5y=7$ atau $12x+5y=85$
C. $12x+5y=7$ atau $12x-5y=85$
D. $12x-5y=7$ atau $12x+5y=85$
E. $5x-12y=7$ atau $5x+12y=85$

Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan:

• $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ mempunyai titik pusat yaitu $(a,b)=\left(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right )$ dan $r=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C}$
• Persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ dengan gradien $m$ adalah $\left(y-b \right )=m_2\left(x-a \right )\pm r\sqrt{1+m^{2}}$
• Hubungan gradien garis yang saling tegak lurus adalah $m_1\times m_2=-1$
• Untuk cara mengkuadratkan sempurna bisa lihat di Video ini

Pembahasan
Ubah bentuk $x^{2}+y^{2}-6x+4y+4=0$ menjadi $\left(x-a \right )^{2}+\left(y-b \right )^{2}=r^{2}$, maka
$x^{2}-6x+\left(\frac{-6}{2} \right )^{2}+y^{2}+4y+\left(\frac{4}{2} \right )^{2}=\left(\frac{-6}{2} \right )^{2}+\left(\frac{4}{2} \right )^{2}-4$
$\left(x+\left(\frac{-6}{2} \right ) \right )^{2}+\left(y+\left(\frac{4}{2} \right ) \right )^{2}=9$
$\left(x-3 \right )^{2}+\left(y+2\right )^{2}=3^{3}$
maka di dapat $a=3, b=-2$ dan $r=3$

Gradien garis $5x+12y-12=0$ adalah $m_1=\frac{-5}{12}$
Gradien garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x+4y+4=0$ misalkan $m_2$
Karena garis $5x+12y-12=0$ tegak lurus dengan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x+4y+4=0$, maka
$m_1\times m_2=-1$
$\frac{-5}{12} \times m_2=-1$
$m_2=-1 \times \frac{12}{-5}$
$m_2=\frac{12}{5}$

Maka, Persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x+4y+4=0$ yang tegak lurus dengan garis $5x+12y-12=0$ adalah
$\left(y-b \right )=m_2\left(x-a \right )\pm r\sqrt{1+m^{2}}$
$\left(y-(-2) \right )=\frac{12}{5}\left(x-3 \right )\pm 3\sqrt{1+\left( \frac{12}{5}\right )^{2}}$
$\left(y-(-2) \right )=\frac{12}{5}\left(x-3 \right )\pm 3\sqrt{1+\left( \frac{144}{25}\right )}$
$y=\frac{12}{5}.x-\frac{12}{5}.3-2\pm 3\sqrt{\frac{169}{25}}$
$y=\frac{12}{5}.x-\frac{12}{5}.3-2\pm 3.\frac{13}{5}$
$5y=12x-36-10 \pm 39$

Persamaan garis singgung yang pertama
$5y=12x-36-10+39$
$5y=12x-7$
$12x-5y=7$
persamaan garis singgung yang kedua
$5y=12x-36-10-39$
$5y=12x-85$
$12x-5y=85$

CARA LAIN
Mencari $a,b$ dan $r$ tanpa mengubah persamaan yang lingkaran, dengan cara:

$a=-\frac{1}{2}.-6$
$a=3$
$b=-\frac{1}{2}.4$
$b=-2$
$r=\sqrt{\frac{1}{4}.(-6)^{2}+\frac{1}{4}.(4)^{2}-4}$
$r=\sqrt{\frac{1}{4}.36+\frac{1}{4}.16-4}$
$r=\sqrt{9+4-4}$
$r=3$

Untuk mencari persamaan garis singgungnya, caranya sama seperti di atas.
Jawaban A

Soal 2, UN SMA Tapel 2017-2018 Program Studi IPA
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-10x+2y+1=0$ yang tegak lurus dengan garis $5x+12y-8=0$ adalah ...
A. $5y-12x-130=0$
B. $5y-12x+130=0$
C. $5y+12x+130=0$
D. $5x-12y+130=0$
E. $5x+12y+130=0$

Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan:

• $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ mempunyai titik pusat yaitu $(a,b)=\left(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right )$ dan $r=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C}$
• Persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ dengan gradien $m$ adalah $\left(y-b \right )=m_2\left(x-a \right )\pm r\sqrt{1+m^{2}}$
• Hubungan gradien garis yang saling tegak lurus adalah $m_1\times m_2=-1$

Pembahasan
Berdasarkan persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}-10x+2y+1=0$ di dapat:
$a=-\frac{1}{2}.(-10) \Rightarrow a=5$
$b=-\frac{1}{2}.2 \Rightarrow b=-1$
Jadi, titik pusat lingkaran itu adalah $(5,-1)$
$r=\sqrt{\frac{1}{4}.(-10)^{2}+\frac{1}{4}.(2)^{2}+1}$
$r=\sqrt{\frac{1}{4}.100+\frac{1}{4}.4+1}$
$r=\sqrt{25+1-1}$
$r=\sqrt{25}$
$r=5$
Berdasarkan persamaan garis $5x+12y-8=0$, maka gradien garis tersebut adalah $m_1=-\frac{5}{12}$
Karena di soal di nyatakan persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-10x+2y+1=0$ tegak lurus dengan garis $5x+12y-8=0$, dan misalkan gradien garis singgung lingkaran tersebut adalah $m_2$, maka
$m_1\times m_2=-1$
$-\frac{5}{12} \times m_2=-1\Rightarrow m_2=\frac{12}{5}$
Maka, Persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x+4y+4=0$ yang tegak lurus dengan garis $5x+12y-12=0$ adalah
$\left(y-b \right )=m_2\left(x-a \right )\pm r\sqrt{1+m^{2}}$
$\left(y-(-1) \right )=\frac{12}{5}\left(x-5 \right )\pm 5\sqrt{1+\left( \frac{12}{5}\right )^{2}}$ Catatan: $(-) \times (-)=(+)$
$\left(y+1 \right )=\frac{12}{5}\left(x-5 \right )\pm 5\sqrt{1+\left( \frac{144}{25}\right )}$
$y=\frac{12}{5}.x-\frac{12}{5}.5-1\pm 5\sqrt{\frac{169}{25}}$
$y=\frac{12}{5}.x-\frac{12}{5}.5-1\pm 5.\frac{13}{5}$
$5y=12x-5.12-1.5 \pm 5.13$ Catatan: ruas kiri dan kanan sama-sama kali 5
$5y=12x-60-5 \pm 65$
$5y=12x-65 \pm 65$

Persamaan garis singgung yang pertama
$5y=12x-65+65$
$5y=12x$
$12x-5y=0$
persamaan garis singgung yang kedua
$5y=12x-65-65$
$5y=12x-130$
$5y-12x+130=0$

Jawaban B

Sebagai latihan, berikut merupakan soal-soal yang mirip dengan soal di atas

• UN Matematika SMA Tapel 2014-2015 Program studi IPA
  Salah satu persaaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}+4x-6y+4=0$ dan tegak lurus garis $3y-x=1$ adalah ...
  A. $y=-3x-3+3\sqrt{10}$
  B. $y=-3x+3+3\sqrt{10}$
  C. $y=-3x+3-3\sqrt{10}$
  D. $y=-x-1+\sqrt{10}$
  E. $y=-x+1-\sqrt{10}$
  
• nambah lagi

Pembahasan Soal UN Menyusun Persamaan Lingkaran

Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan:

• $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ mempunyai titik pusat yaitu $(a,b)=\left(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right )$ dan $r=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C}$
• Persamaan lingkaran dengan pusat $(a,b)$ dan jari-jari $r$ adalah
  $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
• Jarak titik $(p,q)$ ke garis $ax+by+c=0$ adalah $d=\left | \frac{a.p+b.q+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right |$

Soal 1, UN SMA Tapel 2014/2015 Program Studi IPA
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik $(-1,2)$ dan menyinggung garis $x+y+7=0$ adalah ...
A. $x^{2}+y^{2}+2x+4y-27=0$
B. $x^{2}+y^{2}+2x-4y-27=0$
C. $x^{2}+y^{2}+2x-4y-32=0$
D. $x^{2}+y^{2}-4x-2y-32=0$
E. $x^{2}+y^{2}-4x+2y-7=0$

Pembahasan
Berdasarkan soal di atas, maka jari-jari lingkaran merupakan jarak titik pusat lingkaran ke garis singgung. Jadi
$r=\left | \frac{1.(-1)+1.2+7}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}} \right |$
$r=\left | \frac{-1+2+7}{\sqrt{2}} \right |$
$r=\left | \frac{8}{\sqrt{2}} \right |$
$r=\frac{8}{2}\sqrt{2}=4\sqrt{2}$
Jadi, persamaan lingkaran dengan pusat $(a,b)=(-1,2)$ dan $r=4\sqrt{2}$ adalah
$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
$(x-(-1))^{2}+(y-2)^{2}=(4\sqrt{2})^{2}$
$(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=32$
$x^{2}+2x+1+y^{2}-4y+4=32$
$x^{2}+y^{2}+2x-4y-27=0$
Jawaban B

Soal 2, UN SMA Tapel 2016/2017 Program Studi IPA
Persamaan lingkaran dengan pusat di titik $(2,-3)$ dan menyinggung garis $x=5$ adalah ...
A. $x^{2}+y^{2}+4x-6y+9=0$
B. $x^{2}+y^{2}-4x+6y+9=0$
C. $x^{2}+y^{2}-4x+6y+4=0$
D. $x^{2}+y^{2}-4x-6y+9=0$
E. $x^{2}+y^{2}+4x-6y+4=0$

Pembahasan
Berdasarkan soal di atas, maka jari-jari lingkaran merupakan jarak titik pusat lingkaran ke garis singgung $x=5 \Leftrightarrow x-5=0$. Jadi
$r=\left | \frac{0.(-3)+1.2-5}{\sqrt{0^{2}+1^{2}}} \right |$
$r=\left | \frac{0+2-5}{\sqrt{1}} \right |$
$r=\left | \frac{-3}{1} \right |$
$r=\left | -3 \right |$
$r=3$
Jadi, persamaan lingkaran dengan pusat $(a,b)=(2,-3)$ dan $r=3$ adalah
$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
$(x-2)^{2}+(y-(-3))^{2}=3^{2}$
$(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=9$
$x^{2}-4x+4+y^{2}+6y+9=32$
$x^{2}+y^{2}-4x+6y+4=0$
Jawaban C

Berikut merupakan soal latihan yang mirip dengan soal di atas

• UNBK SMA 2017
  Persamaan lingkaran yang berpusat di $(2,5)$ dan menyinggung garis $x=7$ adalah ...
  A. $x^{2}+y^{2}+4x-10y-4=0$
  B. $x^{2}+y^{2}+10x-4y-4=0$
  C. $x^{2}+y^{2}-4x-10y+4=0$
  D. $x^{2}+y^{2}+4x-10y+25=0$
  E. $x^{2}+y^{2}+4x+10y-25=0$

Pembahasan soal UN SMA Materi Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Soal 1, UN SMA Tapel 2015-2016 Program Studi IPA
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-2x+6y-10=0$ yang sejajar dengan garis $2x-y+4=0$ adalah ...
A. $2x-y=14$
B. $2x-y=10$
C. $2x-y=5$
D. $2x-y=-5$
E. $2x-y=-6$

Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan:

• $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ mempunyai titik pusat yaitu $(a,b)=\left(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right )$ dan $r=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C}$
• Persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ dengan gradien $m$ adalah $\left(y-b \right )=m_2\left(x-a \right )\pm r\sqrt{1+m^{2}}$
• Hubungan gradien garis yang sejajar adalah $m_1=m_2$

Pembahasan
Berdasarkan persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}-2x+6y-10=0$ di dapat:
$a=-\frac{1}{2}.(-2) \Rightarrow a=1$
$b=-\frac{1}{2}.6 \Rightarrow b=-3$
Jadi, titik pusat lingkaran itu adalah $(1,-3)$
$r=\sqrt{\frac{1}{4}.(-2)^{2}+\frac{1}{4}.(6)^{2}+10}$
$r=\sqrt{\frac{1}{4}.4+\frac{1}{4}.36+10}$
$r=\sqrt{1+9+10}$
$r=\sqrt{20}$
Berdasarkan persamaan garis $2x-y+4=0$, maka gradien garis tersebut adalah $m_1=-\frac{2}{-1}=2$
Karena di soal dinyatakan persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-2x+6y-10=0$ sejajar dengan garis $2x-y+4=0$, dan misalkan gradien garis singgung lingkaran tersebut adalah $m_2$, maka $m_1=m_2=2$
Maka, Persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-2x+6y-10=0$ yang sejajar dengan garis $2x-y+4=0$ adalah
$\left(y-b \right )=m_2\left(x-a \right )\pm r\sqrt{1+m^{2}}$
$\left(y-(-3) \right )=2\left(x-1 \right )\pm \sqrt{20}\sqrt{1+2^{2}}$
$\left(y+3 \right )=2\left(x-1 \right )\pm \sqrt{20}\sqrt{1+4}$ Catatan: $(-) \times (-)=(+)$
$y+3=2(x-1)\pm \sqrt{20}\sqrt{5}$
$y+3=2x-2 \pm 10$

Persamaan garis singgung yang pertama
$y+3=2x-2 + 10$
$y=2x-2+10-3$
$y=2x+5$
$2x-y=-5$
Persamaan garis singgung yang kedua
$y+3=2x-2-10$
$y=2x-2-10-3$
$y=2x-15$
$2x-y=15$

Jawaban D

Soal 2, UN SMA Tapel 2016-2017 Program Studi IPA
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x-4y+3=0$ yang sejajar dengan garis $3x-y-2=0$ adalah ...
A. $3x-y-1=0$
B. $3x-y-21=0$
C. $3x-y-17=0$
D. $3x+y-17=0$
E. $3x+y+3=0$

Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan:

• $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ mempunyai titik pusat yaitu $(a,b)=\left(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right )$ dan $r=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C}$
• Persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ dengan gradien $m$ adalah $\left(y-b \right )=m_2\left(x-a \right )\pm r\sqrt{1+m^{2}}$
• Hubungan gradien garis yang sejajar adalah $m_1=m_2$

Pembahasan
Berdasarkan persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x-4y+3=0$ di dapat:
$a=-\frac{1}{2}.(-6) \Rightarrow a=3$
$b=-\frac{1}{2}.(-4) \Rightarrow b=2$
Jadi, titik pusat lingkaran itu adalah $(3,2)$
$r=\sqrt{\frac{1}{4}.(-6)^{2}+\frac{1}{4}.(-4)^{2}-3}$
$r=\sqrt{\frac{1}{4}.36+\frac{1}{4}.16-3}$
$r=\sqrt{9+4-3}$
$r=\sqrt{10}$
Berdasarkan persamaan garis $3x-y-2=0$, maka gradien garis tersebut adalah $m_1=-\frac{3}{-1}=3$
Karena di soal dinyatakan persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x-4y+3=0$ sejajar dengan garis $3x-y-2=0$, dan misalkan gradien garis singgung lingkaran tersebut adalah $m_2$, maka $m_1=m_2=3$
Maka, Persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x-4y+3=0$ yang sejajar dengan garis $3x-y-2=0$ adalah
$\left(y-b \right )=m_2\left(x-a \right )\pm r\sqrt{1+m^{2}}$
$\left(y-2 \right )=3\left(x-3 \right )\pm \sqrt{10}\sqrt{1+3^{2}}$
$\left(y-2 \right )=3\left(x-3 \right )\pm \sqrt{10}\sqrt{1+9}$
$y-2=3(x-3)\pm \sqrt{10}\sqrt{10}$
$y-2=3x-9 \pm 10$

Persamaan garis singgung yang pertama
$y-2=3x-9 + 10$
$y=3x-9+2+10$
$y=3x+3$
$3x-y+3=0$
Persamaan garis singgung yang kedua
$y-2=3x-9 - 10$
$y=3x-9+2-10$
$y=3x-17$
$3x-y-17=0$

Jawaban C

Sebagai latihan, berikut adalah soal-soal yang pengerjaannya mirip dengan soal di atas

• UNBK SMA 2017
  Persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-2x+4y=0$ yang sejajar garis $2x-y+3=0$ adalah ...
  A. $y=2x-1$
  B. $y=2x+1$
  C. $y=-2x+9$
  D. $y=-2x-9$
  E. $y=-2x+5$

Pembahasan Soal UN Materi Integral Tak Tentu

Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan untuk soal di bawah ini adalah:

• $\int {ku^{n}du}=k\frac{1}{n+1}u^{n+1}+C$; dengan $k$ adalah konstanta

Soal 1, UN SMA Tapel 2016/2017 Program Studi IPA
Hasil dari $\int {\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+4x-3}}}dx$ adalah ...
A. $\sqrt{x^{2}+4x-3}+C$
B. $2\sqrt{x^{2}+4x-3}+C$
C. $3\sqrt{x^{2}+4x-3}+C$
D. $4\sqrt{x^{2}+4x-3}+C$
E. $6\sqrt{x^{2}+4x-3}+C$

Pembahasan
Berdasarkan $\int {\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+4x-3}}}dx$, kita misalkan:
$u=x^{2}+4x-3$
$\frac{du}{dx}=2x+4$ [$\frac{du}{dx}$ maksudnya adalah turunan $u$ terhadap $x$]
$du=(2x+4)dx$
$\frac{1}{2}du=(x+2)dx$
Maka $\int {\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+4x-3}}}dx$

$=\int {\frac{(x+2)dx}{\sqrt{x^{2}+4x-3}}}$
$=\int {\frac{\frac{1}{2}du}{\sqrt{u}}}$
$=\int {u^{\left ( -\frac{1}{2} \right )}\frac{1}{2}du}$
$=\frac{1}{2}\int {u^{\left ( -\frac{1}{2} \right )}du}$
$=\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{1+\left ( -\frac{1}{2} \right )} \right )u^{1+\left ( -\frac{1}{2} \right )}+C$
$=\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{\frac{1}{2}} \right )u^{\frac{1}{2}}+C$
$=\frac{1}{2}2u^{\frac{1}{2}}+C$
$=u^{\frac{1}{2}}+C$
$=\sqrt{u}+C$
$=\sqrt{x^{2}+4x-3}+C$

Jawaban A

Soal 2, UN SMA Tapel 2014/2015 Program Studi IPA
Hasil $\int {6x\left ( 1-x^{2} \right )^{4}}dx$ adalah ...
A. $\frac{3}{5}(1-x^{2})^{5}+C$
B. $\frac{2}{5}(1-x^{2})^{5}+C$
C. $-\frac{1}{5}(1-x^{2})^{5}+C$
D. $-\frac{2}{5}(1-x^{2})^{5}+C$
E. $-\frac{3}{5}(1-x^{2})^{5}+C$

Pembahasan
Berdasarkan $\int {6x\left ( 1-x^{2} \right )^{4}}dx$ kita misalkan:
$u=1-x^{2}$
$\frac{du}{dx}=-2x$
$du=-2xdx$
$-3du=6xdx$
Maka:
$\int {6x\left ( 1-x^{2} \right )^{4}}dx$
$=\int {\left ( 1-x^{2} \right )^{4}6xdx}$

$=\int {u^{4}(-3du)dx}$
$=-3\int u^{4}du$
$=-3\frac{1}{5}u^{5}+C$
$=-\frac{3}{5}(1-x^{2})^{5}+C$

Jawaban E

Sebagai latihan, berikut adalah soal yang mirip dengan soal di atas

• UNBK SMA Negeri 7 Denpasar Tahun 2017
  Hasil dari $\int {\frac{2x-1}{\sqrt{2x^{2}-2x+5}}}dx=...$
  A. $2\sqrt{2x^{2}-2x+5}+C$
  B. $\sqrt{2x^{2}-2x+5}+C$
  C. $-\sqrt{2x^{2}-2x+5}+C$
  D. $-2\sqrt{2x^{2}-2x+5}+C$
  E. $-3\sqrt{2x^{2}-2x+5}+C$

Pembahasan soal UN Materi Turunan Fungsi Aljabar

Soal 1, UN SMA Tahun 2013 Program Studi IPS
Turunan pertama dari $f(x)=3x^{3}-6x^{2}+3$ adalah ...
A. $f'(x)=x^{3}-3x^{2}+3x$
B. $f'(x)=9x^{2}-12x+3$
C. $f'(x)=9x^{2}-12x$
D. $f'(x)=9x^{2}+12x$
E. $f'(x)=9x^{2}-12$

Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan:
$y'$ merupakan turunan dari $y$

• $y=ax^{n}\rightarrow y'=a.nx^{n-1}$

Pembahasan
$f(x)=3x^{3}-6x^{2}+3$
$f'(x)=3.3x^{2}-6.2x$

$=9x^{2}-12x$

Jawaban C

Soal 2, UN SMA Tahun 2018 Program Studi IPS Paket 1
Turunan pertama fungsi $f(x)=(5x-3)^{3}$ adalah ...
A. $f'(x)=3(5x-3)^{2}$
B. $f'(x)=5(5x-3)^{2}$
C. $f'(x)=8(5x-3)^{2}$
D. $f'(x)=15(5x-3)^{2}$
E. $f'(x)=45(5x-3)^{2}$

Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan:
$y'$ merupakan turunan dari $y$

• $y=ax^{n}\rightarrow y'=a.nx^{n-1}$
• $y=\left [ g(x) \right ]^{n} \Rightarrow y'=n\left [ g(x) \right ]^{n-1}g'(x)$, dimana $g'(x)$ merupakan turunan pertama dari $g(x)$

Pembahasan
Dari fungsi $f(x)=(5x-3)^{3}$, kita misalkan $g(x)=5x-3$, maka $g'(x)=5$
Berdasarkan konsep dasar di atas, maka turunannya akan berbentuk $f'(x)=n\left [ g(x) \right ]^{n-1}g'(x)$
$f'(x)=3(5x-3)^{3-1}5$

$=15(5x-3)^{2}$

Jawaban D

Sebagai latihan, berikut merupakan soal-soal yang sejenis dengan soal di atas.

1. UN Matematika Tahun 2018 Program Studi IPS Paket 4
   Turunan pertama dari $f(x)=(2x-5)^{5}$ adalah ...
   A. $f'(x)=5(2x-5)^{5}$
   B. $f'(x)=10(2x-5)^{5}$
   C. $f'(x)=5(2x-5)^{4}$
   D. $f'(x)=10(2x-5)^{4}$
   E. $f'(x)=(2x-5)^{4}$

Soal 3, UN SMA Tapel 2017/2018 Program Studi IPA
Turunan pertama dari fungsi $f(x)=3x^{2}\left ( 2x-5 \right )^{6}$ adalah $f'(x)=...$
A. $(40x^{2}-30x)(2x-5)^{6}$
B. $6x(8x-5)(2x-5)^{5}$
C. $6x(8x-5)(2x-5)^{6}$
D. $12x(8x-5)(2x-5)^{5}$
E. $12x(8x-5)(2x-5)^{6}$

Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan:
$y'$ merupakan turunan dari $y$

• $y=ax^{n}\rightarrow y'=a.nx^{n-1}$
• Jika $h(x)=f(x).g(x)$, maka $h'(x)=f'(x).g(x)+f(x).g'(x)$
• $y=\left [ g(x) \right ]^{n} \Rightarrow y'=n\left [ g(x) \right ]^{n-1}g'(x)$, dimana $g'(x)$ merupakan turunan pertama dari $g(x)$

Pembahasan
$f(x)=3x^{2}\left ( 2x-5 \right )^{6}$
Misal
$u=3x^{2}$
$u'=6x$ [Turuan dari u]
$v=\left ( 2x-5 \right )^{6}$
$v'=6.\left ( 2x-5 \right )^{5}.2$ [Turunan dari v]
$=12\left ( 2x-5 \right )^{5}$
Maka $f(x)=uv$
$f'(x)=u'v+uv'$

$=(6x)\left ( 2x-5 \right )^{6}+(3x^{2})\left ( 12\left ( 2x-5 \right )^{5} \right )$
$=6x\left ( 2x-5 \right )^{5}\left ( 2x-5+6x \right )$
$=6x\left ( 2x-5 \right )^{5}\left ( 8x-5 \right )$
$=6x\left ( 8x-5 \right )\left ( 2x-5 \right )^{5}$

Jawaban B

Lihat di sini: Pembahasan soal turunan yang lain