Contoh Soal Mean, Median, Modus Data Bekelompok

Perhatikan data berat badan siswa pada tabel di bawah.

Tentukan mean, median dan modus dari data di atas.
1. Mean
❤ Cara Pertama. Rumus → $\bar{x}=\frac{\sum x_if_i}{\sum f_i}$
Nilai tengah dicari melalui $\frac{1}{2}$ dari batas bawah + batas atas.
Nilai tengah kelas ke-1 $=\frac{1}{2}(41+45)=43$
Nilai tengah kelas ke-2 $=\frac{1}{2}(46+50)=48$
Nilai tengah kelas ke-3 $=\frac{1}{2}(51+55)=53$, dst
Jika dibuatkan dalam tabel akan seperti di bawah ini.

Maka: $\bar{x}=\frac{\sum x_if_i}{\sum f_i}=\frac{2970}{46}=59,4$

❤ Cara Kedua. Rumus → $\bar{x}=\bar{x_s}+\frac{\sum f_id_i}{\sum f_i}$

Misalkan rata-rata sementara $(\bar{x_s}=58)$. Ini adalah nilai tengah dari interval yang berada di tengah. Kalau memilih nilai rata-rata sementara yang lain boleh saja asalkan berupa nilai tengah pada interval yang disediakan. Jadi dapat dibuat tabel seperti di bawah ini.

Maka: $\bar{x}=\bar{x_s}+\frac{\sum f_id_i}{\sum f_i}=58+\frac{70}{50}=58+1,4=59,4$

❤ Cara Ketiga. Rumus → $\bar{x}=\bar{x_s}+l\frac{\sum f_ic_i}{\sum f_i}$

Rata-rata sementara tetap kita pilih $(\bar{x_s}=58)$. Tepi atas kelas pertama adalah $=45+0.5=45,5$. Tepi bawah kelas pertama adalah $=41-0,4=40,5$. Panjang kelas $(l)$ adalah $45,5-40,5=5$. Panjang kelas sama untuk setiap interval yaitu $5$.

Maka: $\bar{x}=\bar{x_s}+l\frac{\sum f_ic_i}{\sum f_i}=58+5\left ( \frac{14}{50} \right )=58+1,4=59,4$.

2. Modus
Rumus → $M_o=TB_{M_o}+l\left ( \frac{d_1}{d_1+d_2} \right )$
Lihat tabel di bawah ini.

Yang isi kotak merah itu merupakan kelas modus, karena pada kelas tersebut memiliki frekwensi paling banyak yaitu 15.➤ $l=5$
➤ $d_1=15-6=9$
➤ $d_2=15-11=4$
➤ $TB_{M_o}=56-0,5=55,5$
Maka: $M_o=TB_{M_o}+l\left ( \frac{d_1}{d_1+d_2} \right )=55,5+5\left ( \frac{9}{9+4} \right )=55,5+3,46=58,96$

3. Median
Kelas median $=\frac{2}{4}N=\frac{2}{4}.50=25$. Ini dihitung dari frekwensi komulatif, data ke 25 itu berada di kelas mana.

Untuk mencari median lihat tabel berikut agar lebih jelas.

Maka: $Q_2=TB_2+l\left ( \frac{\frac{2}{4}N-f_{K_2}}{f_2} \right )=55,5 +5\left ( \frac{\frac{2}{4}50-13}{15} \right )=55,5+\frac{(25-13)}{3}=59,5$.
Untuk mencari kuartil 1/$Q_1$ dan kuartil 3/$Q_3$ caranya sama. Kelas $Q_1$ dan $Q_3$ dapat dicari dengan rumus $\frac{i}{4}N$, dengan $i$ adalah menyatakan kuartil keberapa.

Ukuran Pemusatan Data Berkelompok

Beberapa istilah dalam pemusatan data berkelompok yang perlu diketahui:
a. Kelas adalah kelompok-kelompok data yang berbentuk $a-b$
b. Batas kelas adalah nilai-nilai yang terdapat pada suatu kelas. Nilai ujung bawah = batas bawah dan nilai ujung atas = batas atas.
c. Tepi kelas.
⧫  Tepi atas kelas atau batas atas nyata adalah batas atas di tambah 0,5 [Jika data di catat dalam ketelitian satuan]
⧫  Tepi bawah kelas atau batas bawah nyata adalah batas bawah dikurangi 0,5 [jika data dicatat dengan ketelitian satuan]
d. Panjang kelas = tepi atas - tepi bawah
e. Titik tengah kelas = $\frac{1}{2}$ [tepi atas-tepi bawah]
f. Frekwensi adalah banyak data pada setiap kelas.

RATA-RATA/MEAN [$\bar{x}$]

Cara 1: Rumus → $\bar{x}=\frac{\sum x_if_i}{\sum f_i}$

Keterangan :
⧫ $\bar{x}$ adalah nilai rata-rata atau mean
⧫ $x_i$ adalah nilai tengah masing-masing interval. Contoh $x_3$ maksudnya adalah nilai tengah pada interval ke-3
⧫ $f_i$ adalah frekwensi pada masing-masing interval

 Cara 2: Rumus → $\bar{x}=\bar{x_s}+\frac{\sum f_id_i}{\sum f_i}$

Keterangan :
⧫ $\bar{x_s}$ adalah nilai rata-rata sementara. Umumnya dipilih nilai tengah pada interval yang berada di tengah.
⧫ $d_i=x_1-\bar{x_s}$

Cara 3: Rumus → $\bar{x}=\bar{x_s}+l\frac{\sum f_ic_i}{\sum f_i}$

Keterangan:
⧫ $l$ adalah panjang kelas
⧫ $c_i$ adalah koding.

MODUS [$M_o$]

Rumus → $M_o=TB_{M_o}+l\left ( \frac{d_1}{d_1+d_2} \right )$

Keterangan:
⧫ $TB_{M_o}$ adalah Tepi bawah kelas modus
⧫ $d_1$ adalah selisih frekwensi kelas modus dan frekwensi kelas sebelumnya
⧫ $d_2$ adalah selisih frekwensi kelas modus dan frekwensi kelas sesudahnya
⧫ $l$ adalah panjang kelas

MEDIAN DAN KUARTIL [$Q_i$]

Rumus → $Q_i=TB_i+l\left ( \frac{\frac{i}{4}N-f_{K_i}}{f_i} \right )$
Median = Kuartil 2 atau $(Q_2)$

Keterangan :
$Q_i$ adalah tepi kelas bawah kuartil
$f_{K_i}$ adalah frekwensi komulatif sebelum kelas $Q_i$
$f_i$ adalah frekwensi kelas $Q_i$
$N=\sum f$

Pembahasan Soal SBMPTN Logaritma [1]

Berikut merupakan soal-soal persiapan SBMPTN yang dapat kalian pelajari mengenai materi logaritma.

1. Penyelesaian dari pertidaksamaan $^3log\left | 6-3x \right |>1$ adalah ...

Pembahasan

$^3log\left | 6-3x \right |>1$

$^3log\left | 6-3x \right |>^3log3$

$\left | 6-3x \right |>3$

$(6-3x)^2>3^2$

$36-36x+9x^2>9$

$4-4x+x^2>1$

$x^2-4x+3>0$

$(x-3)(x-1)>0$

$x=3\ atau\ x=1$

$Jadi\ x<1\ atau\ x>3$

2. Jika $^3log2=a,\ ^2log5=b$, maka nilai $\frac{3+ab}{2+3a}$ sama dengan ...

Pembahasan

$\frac{3+ab}{2+3a}=\frac{3+^3log2.^2log5}{2+3.^3log2}$
             $=\frac{3+^3log2.^2log5}{2+3.^3log2}$
             $=\frac{^3log3^3+^3log5}{^3log3^2+^3log2^3}$
             $=\frac{^3log27.5}{^3log9.8}$
             $=\frac{^3log135}{^3log72}$
             $=^{72}log135$

3. Himpunan nilai-nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $^2log|x-2|<\ ^2log|3x-1|-1$, adalah ...

Pembahasan

$^2log|x-2|<\ ^2log|3x-1|-1$

$^2log|x-2|<\ ^2log|3x-1|-^2log2$

$^2log|x-2|<\ ^2log\frac{|3x-1|}{2}$

$|x-2|<\frac{|3x-1|}{2}$

$x^2-4x+4<\frac{9x^2-6x+1}{4}$

$4x^2-16x+16<9x^2-6x+1$

$5x^2+10x-15>0$

$(x-1)(x+3)>0$

$x=1\ atau\ x=-3$

$Jadi\ x<-3\ atau\ x>1$

4. Jika diketahui $(^alog\ x)^2-4(^alog\ x) +3\geq 0$ dan $a>1$, maka hubungan $a$ dan $x$ adalah ...

Pembahasan
$(^alog\ x)^2-4(^alog\ x) +3\geq 0$, misalkan $y=^alog\ x$ maka
$y^2-4y+3\geq 0$
$(y-3)(y-1)\geq 0$
$y=3\ atau\ y=1$, karena pertidaksamaan $[\geq]$ maka
$y\leq 1\ atau\ y\geq 3$
$y\geq 3\Rightarrow\  ^alog\ x\geq 3\Leftrightarrow x\geq a^3$
$y\leq 1\Rightarrow\  ^alog\ x\leq 1\Leftrightarrow x\leq a^1$

Pembahasan Soal SBMPTN Vektor [1]

SBMPTN 2017

Diketahui vektor-vektor $\vec{a},\vec{b}$, dan $\vec{c}$ dengan $\vec{b}=(-2,1), \vec{b}\perp \vec{c}$ dan $\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}=0$. Jika $\left | \vec{a} \right |=5$ dan sudut antara $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ adalah $\alpha$, maka luas segitiga yang dibentuk ujung-ujung vektor $\vec{a}, \vec{b}$, dan $\vec{c}$ adalah ...

Pembahasan
$\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}=0$
$\vec{a}=\vec{b}+\vec{c}$
$\vec{b}.\vec{a}=\vec{b}.\vec{b}+\vec{b}.\vec{c}$
$\vec{b}.\vec{a}=(-2,1).(-2,1)+0$
$\vec{b}.\vec{a}=4+1=5$

       $\vec{a}.\vec{a}=\vec{a}.\vec{b}+\vec{a}.\vec{c}$
       $\left | \vec{a} \right |^2=\vec{b}.\vec{a}+\vec{a}.\vec{c}$
       $25=5+\vec{a}.\vec{c}$
       $20=\vec{a}.\vec{c}$
$\vec{c}$ adalah proyeksi vektor $\vec{a}$ pada $\vec{c}$, maka
 $|\vec{c}|=\frac{\vec{a}.\vec{c}}{|\vec{c}|}$
 $|\vec{c}|^2=\vec{a}.\vec{c}$
 $|\vec{c}|^2=20$
 $|\vec{c}|=2\sqrt{5}$
 $L\Delta =\frac{1}{2}|\vec{b}|.|\vec{c}|=\frac{1}{2}.\sqrt{5}.2\sqrt{5}=5$

Vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ membentuk sudut tumpul $\alpha$ dengan $sin\ \alpha =\frac{1}{\sqrt{7}}$. Jika $|\vec{a}|=\sqrt{5}$ dan $|\vec{b}|=\sqrt{7}$ dan $\vec{b}=\vec{a}+\vec{c}$, maka $\vec{a}.\vec{c}=...$

Pembahasan
$sin\ \alpha =\frac{1}{\sqrt{7}}\rightarrow cos\ \alpha = \frac{-\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$, [gunakan segitiga]
    $\vec{b}=\vec{a}+\vec{c}$
    $\vec{b}-\vec{a}=\vec{c}$
    $\vec{a}.\vec{b}-\vec{a}.\vec{a}=\vec{a}.\vec{c}$
    $|\vec{a}|.|\vec{b}|.cos\ \alpha -|\vec{a}|^2=\vec{a}.\vec{c}$
    $\sqrt{5}.\sqrt{7}.\frac{-\sqrt{6}}{\sqrt{7}}-(\sqrt{5})^2=\vec{a}.\vec{c}$
    $-\sqrt{30}-5=\vec{a}.\vec{c}$

Diketahui vektor $\vec{a}=(4,6),\ \vec{b}=(3,4)$, dan $\vec{c}=(p,0)$. Jika $|\vec{c}-\vec{a}|=10$, maka cosinus sudut antara $\vec{b}$ dan $\vec{c}$ adalah ...

Pembahasan
$|\vec{c}-\vec{a}|=\sqrt{|\vec{c}|^2+|\vec{a}|^2-2.\vec{a}.\vec{c}}$
$10=\sqrt{p^2+(4^2+6^2)-2.4.p}$
$100=p^2+52-8p$
$p^2-8p-48=0$
$(p+4)(p-12)=0$
$p=-4\ atau\ p=12$
♣ Untuk $p=-4$
      $\vec{b}.\vec{c}=|\vec{b}|.|\vec{c}|cos\ \alpha$
      $3.(-4)+4.0=5.4cos\ \alpha\Leftrightarrow cos\ \alpha=-\frac{3}{5}$
♣ Untuk $p=12$
     $\vec{b}.\vec{c}=|\vec{b}|.|\vec{c}|cos\ \alpha$
     $3.12+4.0=5.12cos\ \alpha\Leftrightarrow cos\ \alpha=\frac{3}{5}$

Diketahui tiga vektor  $\vec{a},\vec{b}$, dan $\vec{c}$ dengan $|\vec{b}|=3,\ |\vec{c}|=4$, dan $\vec{a}=\vec{c}-\vec{b}$. Jika $\gamma$ adalah sudut antara vektor $\vec{a}.\vec{a}=25$, maka $sin\ \gamma=...$

Pembahasan
$\vec{a}=\vec{c}-\vec{b}$
$\vec{b}=\vec{c}-\vec{a}$
$\vec{b}.\vec{c}=\vec{c}.\vec{c}-\vec{a}.\vec{c}=|\vec{c}|^2-25=16-25=-9$
    $\vec{b}.\vec{c}=|\vec{b}|.|\vec{b}|cos\ \gamma$
    $-9=3.4.cos\ \gamma$
    $\frac{-3}{4}=cos\ \gamma\rightarrow sin\ \gamma=\frac{\sqrt{7}}{4}$

Pembahasan Soal SBMPTN Integral [1]

SBMPTN 2018
Nilai $\int_{1}^{36}{\frac{3}{\sqrt{x}(3+\sqrt{x})^{\frac{3}{2}}}}dx$ adalah ...

Pembahasan
Misalkan:
$\int_{1}^{36}{\frac{3}{\sqrt{x}(3+\sqrt{x})^{\frac{3}{2}}}}dx$
$u=3+\sqrt{x}\Leftrightarrow \frac{du}{dx}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\Leftrightarrow du=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx$
Untuk menyederhanakan perhitungan, kita ubah batasnya
untuk batas bawah $x=1\Rightarrow u=3+\sqrt{1}=4$
untuk batas atas $x=36\Rightarrow u=3+\sqrt{36}=9$
   $=\int_{1}^{36}{\frac{3}{\sqrt{x}(3+\sqrt{x})^{\frac{3}{2}}}}dx$
   $=\int_{1}^{36}{\frac{6}{(3+\sqrt{x})^{\frac{3}{2}}}}\frac{1}{2\sqrt{x}}dx$
   $=\int_{4}^{9}{\frac{3}{u^{\frac{3}{2}}}}du$
   $=\int_{4}^{9}6u^{-\frac{3}{2}}du$
   $=\left [ \frac{6}{-\frac{1}{2}}u^{-\frac{3}{2}} \right ]\begin{matrix}9\\\\4\end{matrix}$
   $=-12\left [ \frac{1}{\sqrt{9}}- \frac{1}{\sqrt{4}}\right ]$
   $=-12\left ( \frac{1}{3}-\frac{1}{2} \right )$
   $=-4+6=2$

SBMPTN 2018

Daerah $R$ dibatasi oleh $y=\sqrt{x},\ y=-x+6$ dan sumbu-x. Volume benda padat yang di dapat dengan memutar $R$ terhadap sumbu-x adalah ...

Pembahasan
Kalau di gambar, kedua fungsi berikut menjadi

Titik $A$ adalah titik potong kedua grafik, maka

$\sqrt{x}=-x+6$

$x=x^2-12x+36$

$x^2-13x+36=0$

$(x-9)(x-4)=0\rightarrow x=9\ atau\ x=4$ pilih $x=4$

Karena benda putar, maka volumenya adalah
$V=\pi \int_{0}^{4}\left ( \sqrt{x} \right )^2dx+\pi \int_{4}^{6}(-x+6)^2dx$
    $=\pi\left [\frac{1}{2}x^2 \right ]\begin{matrix}4\\ 0\end{matrix}+\left [\frac{1}{3}(-x+6) \right ]\begin{matrix}6\\ 4\end{matrix}$
    $=8\pi +\frac{8}{3}\pi =\frac{32}{3}\pi$ satuan luas

Jika $f(x)=\int_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}}6t^2dt$ maka $f'(x)=18$ untuk $x=...$

Pembahasan
$g(t)=6t^2$ merupakan fungsi genap, karena $g(-t)=6(-t)^2=6t^2=g(t)$. Maka
$f(x)=\int_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}}6t^2dt=2\int_{0}^{\sqrt{x}}6t^2dt=\left [ 4t^3 \right ]\begin{matrix}{\sqrt{x}}\\ 0\end{matrix}=4t^{\frac{3}{2}}$

$f'(x)=4.\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$

$18=6\sqrt{x}$

$3=\sqrt{x}\Leftrightarrow x=9$

Jika nilai $\int_{b}^{a}f(x)dx=5$ dan $\int_{c}^{a}f(x)dx=0$, maka $\int_{c}^{b}f(x)dx=...$

Pembahasan

$\int_{b}^{a}f(x)dx=5\Rightarrow \int_{a}^{b}f(x)dx=-5$
$\int_{c}^{a}f(x)dx=0\Rightarrow \int_{a}^{c}f(x)dx=-0\Leftrightarrow \int_{a}^{c}f(x)dx=0$
Jadi $\int_{a}^{c}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{b}^{c}f(x)dx$
               $0=-5+\int_{b}^{c}f(x)dx$
               $5=\int_{b}^{c}f(x)dx\Leftrightarrow \int_{c}^{b}f(x)dx=-5$

SIFAT-SIFAT DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS

DETERMINAN MATRIKS

Misalkan matriks $A$ dengan orde $2\times 2,\  A=\left ( \begin{matrix}a & b\\ c & d\end{matrix} \right )$. Maka determinan dari matriks $A$ adalah $det\ (A)=|A|=a.d-b.c$. Untuk determinan matriks orde $3\times 3$ dan yang lainnya akan dijelaskan pada artikel lain.

Sifat-sifat determinan matriks adalah sebagai berikut:
1. $|A|=det(A)$
2. $|A^t|=|A|$, dimana $A^t$ adalah tranpose dari matriks $A$.
3. $|A.B|=|A|.|B|$, dimana $A$ dan $B$ adalah matriks. Sifat ini dapat diperumum misalkan tiga matriks $|A.B.C|=|A|.|B|.|C|$ atau lebih dari tiga matriks.
4. $|A^n|=|A|^n$
5. $|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$
6. $|bA_{m\times m}|=b^m|A|$ dimana $b$ adalah koefisien dan $m\times m$ adalah orde dari matriks $A$.

Contoh soal.
1. Diberikan matriks $A=\left ( \begin{matrix}4 & 3\\ 5 & 2\end{matrix} \right )$. Tentukan determinan dari matriks $A$.
Pembahasan
Determinan dari matriks $A$ adalah $det\ (A)=|A|=4.2-3.5=8-15=-7$

2. Jika $A=\left ( \begin{matrix}-1 & -4\\ 7 & 1\end{matrix} \right)\, B=\left ( \begin{matrix}4 & 1\\ 5 & 2\end{matrix} \right )$  dan $A+3C^t=2B$, maka nilai $det(C)=...$
Pembahasan

$A+3C^t=2B$
$3C^t=2B-A$
$3C^t=2\left ( \begin{matrix}4 & 1\\ 5 & 2\end{matrix} \right )-\left ( \begin{matrix}-1 & -4\\ 7 & 1\end{matrix} \right)$
$3C^t=\left ( \begin{matrix}-1 & -4\\ 7 & 1\end{matrix} \right)-\left ( \begin{matrix}-1 & -4\\ 7 & 1\end{matrix} \right)$
$3C^t=\left ( \begin{matrix}9 & 6\\ 3 & 3\end{matrix} \right)$
$3^2det(C^t)=27-18$
$9\ det(C)=9\Leftrightarrow det(C)=1$

INVERS MATRIKS

Invers dari matriks $A$ adalah $A^{-1}$. Misalkan matriks $A$ dengan orde $2\times 2,\  A=\left ( \begin{matrix}a & b\\ c & d\end{matrix} \right )$. Maka $A^{-1}=\frac{1}{|A|}\left ( \begin{matrix}d & -b\\ -c & a\end{matrix} \right )$. Untuk invers matriks orde $3\times 3$ dan yang lainnya akan dijelaskan pada artikel lain.

Sifat-sifat invers matriks adalah sebagai berikut:

1. $(A^{-1})^{-1}=A$

2. $A^{-1}.A=A.A^{-1}=I$

3. $AB=I$ artinya $A$ dan $B$ saling invers yaitu $A^{-1}=B$ dan $B^{-1}=A$

4. $(AB)^{-1}=B^{-1}.A^{-1}$

5. $AB=C\Rightarrow A=C.B^{-1}\ atau\ B=A^{-1}.C$

Contoh soal.
1. Diberikan matriks $A=\left ( \begin{matrix}4 & 3\\ 5 & 2\end{matrix} \right )$. Tentukan invers dari matriks $A$.
Pembahasan
$det\ (A)=|A|=4.2-3.5=8-15=-7$.
Invers dari matriks $A$ adalah $A^{-1}=\frac{1}{|A|}\left ( \begin{matrix}2 & -3\\ -5 & 4\end{matrix} \right )=\frac{1}{-7}\left ( \begin{matrix}2 & -3\\ -5 & 4\end{matrix} \right )=\left ( \begin{matrix}-2/7 & 3/7\\ 5/7 & -4/7\end{matrix} \right )$

2. Diketahui matriks $A=\left ( \begin{matrix}-2 & -5\\ 1 & 3\end{matrix} \right),\ C=\left ( \begin{matrix}4 & 6\\ 3 & 5\end{matrix} \right )$ Jika $B$ memenuhi $A.B=C$, maka $det(2B^{-1})$ adalah ...
Pembahasan
Dalam hal ini, kita menggunakan sifat-sifat dari determinan dan invers.

$A.B=C$
$det(A.B)=det(C)$
$det(A).det(B)=det(C)$
$(-2.3-(-5).1).det(B)=4.5-6.3$
$-1.det(B)=2\Leftrightarrow det(B)=-2$

$det(2.B^{-1})=2^2.det(B^{-1})$
                   $=4.\frac{1}{det(B)}$
                   $=4. \frac{1}{-2}=-2$

SUDUT DUA BUAH LINGKARAN

Sudut dua buah lingkaran didefinisikan sebagai sudut yang dibentuk oleh garis-garis singgung pada kedua lingkaran itu di titik potongnya. Misalkan di ketahui:
$L_1:x^2+y^2+A_1x+B_1y+C_1=0$
$L_2:x^2+y^2+A_2x+B_2y+C_2=0$
Lingkaran $L_1$ dan $L_2$ berpotongan di titik $P$ dan masing-masing mempunyai garis singgung $g_1$ dan $g_2$ seperti gambar di bawah. Sudut antara lingkaran $L_1$ dan $L_2$ adalah $\alpha$.

Berdasarkan gambar di atas, maka:

$\angle L_2PL_1=\angle L_2PB+\angle BPL_1=90^o+\angle BPL_1$
$\angle CPB=\angle CPL_1+\angle BPL_1=90^o+\angle BPL_1$
$\angle L_2PL_1=\angle CPB$

Jadi $\alpha =180^o-\angle CPB=180^o-\angle L_2PL_1$

Kedua lingkaran itu akan berpotongan tegak lurus apabila garis-garis singgung berimpit dengan jari-jari kedua lingkaran. Lihat gambar di bawah ini.

Dari gambar di atas, terlihat bahwa $r_1\perp r_2$, sehingga $\Delta L_1PL_2$ adalah segitiga siku-siku di $P$. Diketahui $L_1\left ( -\frac{1}{2}A_1,-\frac{1}{2}B_1 \right ), L_2\left ( -\frac{1}{2}A_2,-\frac{1}{2}B_2 \right ), r_1=\sqrt{\frac{1}{4}(A_1)^2+\frac{1}{4}(B_1)^2-C_1}$ dan $r_2=\sqrt{\frac{1}{4}(A_2)^2+\frac{1}{4}(B_2)^2-C_2}$.
Sehingga berlaku
$(L_1L_2)^2=(r_1)^2+(r_2)^2$
$\left ( -\frac{1}{2}A_2-(-\frac{1}{2}A_1) \right )^2+\left ( -\frac{1}{2}B_2-(-\frac{1}{2}B_1) \right )^2=\frac{1}{4}(A_1)^2+\frac{1}{4}(B_1)^2-C_1+\frac{1}{4}(A_2)^2+\frac{1}{4}(B_2)^2-C_2$
$\frac{1}{4}(A_2-A_1)^2+\frac{1}{4}(B_2-B_1)^2=\frac{1}{4}((A_1)^2+(B_1)^2-4C_1)+\frac{1}{4}((A_2)^2+(B_2)^2-4C_2)$
$(A_2-A_1)^2+(B_2-B_1)^2=(A_1)^2+(B_1)^2-4C_1+(A_2)^2+(B_2)^2-4C_2$
$(A_2)^2-2A_1A_2+(A_1)^2+(B_2)^2-2B_1B_2+(B_1)^2=(A_1)^2+(B_1)^2-4C_1+(A_2)^2+(B_2)^2-4C_2$
$-2A_1A_2-2B_1B_2=4C_1-4C_2$
$A_1A_2+B_1B_2=2C_1+2C_2$

Jika diketahui lingkaran:
$L_1:x^2+y^2+A_1x+B_1y+C_1=0$
$L_2:x^2+y^2+A_2x+B_2y+C_2=0$
maka, kedua lingkaran tersebut tegak lurus jika $A_1A_2+B_1B_2=2C_1+2C_2$

Lihat juga: Materi Lingkaran, UN Lingkaran

TRANSFORMASI [PENCERMINAN/REFLEKSI]

Pencerminan/Refleksi adalah transformasi yang memindahkan titik atau bangun dengan menggunakan sifat pembentukan bayangan oleh sebuah cermin.

Ingat!

Jika suatu transformasi dapat disajikan sebagai matriks  $M=\begin{bmatrix}a & b\\ c & d\end{bmatrix}$, maka $(x,y)\xrightarrow[]{M}(x',y')$ dengan $\begin{bmatrix}x'\\y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a & b\\ c & d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$

Rumus-rumus refleksi
❤ Refleksi terhadap sumbu-x
$(x,y)\xrightarrow[]{ref\ sumbu-x}(x,-y)$
Matriks pencerminan terhadap sumbu-x adalah $M=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{bmatrix}$
❤ Refleksi terhadap sumbu-y
$(x,y)\xrightarrow[]{ref\ sumbu-y}(-x,y)$
Matriks pencerminan terhadap sumbu-y adalah $M=\begin{bmatrix}-1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}$
❤ Refleksi terhadap garis $y=x$
$(x,y)\xrightarrow[]{ref\ garis\ y=x}(y,x)$
Matriks pencerminan terhadap garis $y=x$ adalah $M=\begin{bmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{bmatrix}$
❤ Refleksi terhadap garis $y=-x$
$(x,y)\xrightarrow[]{ref\ garis\ y=-x}(-y,-x)$
Matriks pencerminan terhadap garis $y=-x$ adalah $M=\begin{bmatrix}0 & -1\\-1&0\end{bmatrix}$
❤ Refleksi terhadap titik asal $(0,0)$
$(x,y)\xrightarrow[]{ref\ titik\ asal}(-x,-y)$
Matriks pencerminan terhadap titik asal adalah $M=\begin{bmatrix}-1 & 0\\ 0 & -1\end{bmatrix}$
❤ Refleksi terhadap garis $x=k$
$(x,y)\xrightarrow[]{ref\ garis\ x=k}(2k-x,y)$
Matriks pencerminan terhadap garis $x=k$ adalah $\begin{bmatrix}x'\\y' \end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x-k\\y\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}k\\0 \end{bmatrix}$
❤ Refleksi terhadap garis $y=k$
$(x,y)\xrightarrow[]{ref\ garis\ y=k}(x,2k-y)$
Matriks pencerminan terhadap garis $y=k$ adalah $\begin{bmatrix}x'\\y' \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y-k\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\k \end{bmatrix}$
❤ Refleksi terhadap garis $y=x+k$
$(x,y)\xrightarrow[]{ref\ garis\ y=x+k}(y-k,x+k)$
Matriks pencerminan terhadap garis $y=x+k$ adalah $\begin{bmatrix}x'\\y' \end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y-k\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\k \end{bmatrix}$
❤ Refleksi terhadap garis $y=-x+k$
$(x,y)\xrightarrow[]{ref\ garis\ y=-x+k}(-y+k,-x+k)$
Matriks pencerminan terhadap garis $y=-x+k$ adalah $\begin{bmatrix}x'\\y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & -1\\ -1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y-k\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\k \end{bmatrix}$
❤ Refleksi terhadap garis $y=mx$, dimana $m=tan\ \alpha$
Matriks pencerminan adalah $\begin{bmatrix}x'\\y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}cos\ 2\alpha  & sin\ 2\alpha\\ sin\ 2\alpha & -cos\ 2\alpha\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$

CONTOH SOAL
1. Hasil pencerminan titik $A(3,2)$ terhadap garis $y=-x$ adalah ...
Pembahasan
Berdasarkan rumus di atas maka $(3,2)\xrightarrow[]{ref\ garis\ y=-x}(-2,-3)$ atau kalau kita menggunakan matriks tranformasi jadinya $\begin{bmatrix}x'\\y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0  & -1\\ -1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2\\-3\end{bmatrix}$
Jadi Hasil pencerminan titik $A(3,2)$ terhadap garis $y=-x$ adalah $A'(-2,-3)$
2. Hasil pencerminan garis $y=x+3$ terhadap garis $y=2$ adalah ...
Pembahasan
Misalkan kita ambil sebarang titik $(x,y)$ yang berada pada garis $y=x+3$. Maka sesuai rumus trasformasi di atas $(x,y)\xrightarrow[]{ref\ garis\ y=2}(x,4-y)$, dimana $(x',y')=(x,4-y)$. $x'=x$ dan $y'=4-y\leftrightarrow y=4-y'$.
Substitusi  $x'=x$ dan $y=4-y'$ ke persamaan $y=x+3$. Maka diperoleh $y=x+3\Leftrightarrow 4-y'=x'+3\Leftrightarrow -y'=x'-1\Leftrightarrow y'=1-x'$. Dengan menghilangkan aksennya merupakan hasil dari perncerminan terhadap garis $y=2$ yaitu $y=1-x$.
Cara seperti ini juga berlaku jika yang dicerminkan adalah lingkaran maupun elips.

Lihat juga materi barisan dan deret, dimensi tiga, integral, limit, lingkaran

Perbedaan Permutasi dan Kombinasi

❤❤PERMUTASI❤❤
Permutasi dari sekumpulan unsur-unsur adalah cara penyusunan/memilih unsur-unsur yang berbeda dengan memperhatikan urutan $(AB\neq BA)$. Misalkan dalam suatu kelas akan dipilih 4 orang sebagai perangkat kelas yaitu ketua, wakil, sekretaris dan bendehara. Dalam soal ini memperhatikan urutan, karena misalkan si A sebagai ketua, si B sebagai wakil, si C sebagai sekretaris dan si D sebagai bendehara berbeda dengan si C sebagai ketua, si A sebagai wakil, si B sebagai sekretaris dan si D sebagai bendehara. Biarpun orang-orang yang di pilih sama yaitu si A,B,C,D tetapi keempat orang itu menempati posisi yang berbeda maka dapat dikatakan sebagai memperhatikan urutan. 

Jenis-jenis permutasi

1. Permutasi $n$ unsur yang di ambil dari $n$ unsur yang ada.

     $P(n,n)=_{n}^{n}\textrm{P}=\frac{n!}{(n-n)!}=n!$

2. Permutasi $r$ unsur yang di ambi dari $n$ unsur yang ada, dengan $r<n$

    $P(n,r)=_{r}^{n}\textrm{P}=\frac{n!}{(n-r)!}$

3. Permutasi $n$ unsur yang di ambil dari $n$ unsur yang ada, dimana dari $n$ unsur tersebut terdapat $m$ unsur yang sama, $k$ unsur yang sama dan $l$ unsur yang sama

    $\frac{n!}{(m!.k!.l!)}$ 

4. Permutasi siklis $melingkar$ dari $n$ unsur 

    $(n-1)!$
Contoh soal
1. Terdapat 5 orang yang akan duduk berjejer untuk mengantre. Berapa banyak cara susunan antrean tersebut?
Pembahasan
Misalkan orang yang akan mengantre adalah si A,B,C,D,E. Posisi tempat duduk A,B,C,D,E berbeda dengan B,A,C,D,E. Maka dalam soal ini menggunakan permutasi 5 unsur dari 5 unsur yang ada. Maka $P(5,5)=_{5}^{5}\textrm{P}=\frac{5!}{(5-5)!}=5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120\ cara$
2. Dalam suatu kelas yang terdiri dari 20 siswa akan dipilih 4 orang untuk menjadi ketua kelas,  wakil, sekretaris dan bendehara. Tentukan banyak cara memilih ke empat orang tersebut.
Pembahasan
Dari soal maka dapat digunakan permutasi 4 unsur dari 20 unsur yang ada, maka  $P(20,4)=_{4}^{20}\textrm{P}=\frac{20!}{(20-4)!}=\frac{20\times 19\times18\times17\times16!}{16!}=20\times 19\times18\times17$.
3. Banyaknya cara menyusun kata MATEMATIKA adalah
Pembahasan
MATEMATIKA terdiri dari 10 huruf, ada 2 huruf T, 2 huruf M, 3 huruf A. Maka banyak cara menyusun kata tersebut adalah $\frac{10!}{(2!.2!.3!)}=10.9.2.7.5.3.2.1$
4. Lima orang dalam keluarga akan duduk melingkar untuk makan malam bersama. Berapa banyak cara susunan duduk kelima orang tersebut.
Pembahasan
Dari soal maka dapat dicari dengan permutasi siklis [melingkar] dari $5$ unsur, maka $(5-1)!=4!$

❤❤KOMBINASI❤❤
Kombinasi dari sekumpulan unsur-unsur adalah cara penyusunan unsur-unsur yang berbeda tanpa memperhatikan urutan $AB=BA$. Misalkan dalam suatu kelas akan dipilih 4 orang untuk mewaliki perlombaan matematika. Dalam soal ini tidak memperhatikan urutan karena yang dipilih hanya 4 orang misalkan si A,B,C,D dan tidak ada perbedaan dalam posisi, jabatan atau yang lainnya.
Jenis-jenis kombinasi
1. Kombinasi $n$ unsur yang di ambil dari $n$ unsur yang ada.
     $C(n,n)=_{n}^{n}\textrm{C}=\frac{n!}{(n-n)!.n!}=1$
2. Kombinasi $k$ unsur yang di ambi dari $n$ unsur yang ada, dengan $k<n$
     $C(n,k)=_{k}^{n}\textrm{C}=\frac{n!}{(n-k)!.k!}=1$
Contoh soal
Dalam suatu kelas yang terdiri dari 20 orang, akan dipilih 3 orang untuk mewaliki lomba matematika. Banyak cara memilih 3 orang tersebut adalah...
Pembahasan
Dari soal maka dapat dicari dengan kombinasi $3$ unsur yang di ambi dari $20$ unsur yang ada. Maka $C(20,3)=_{3}^{20}\textrm{C}=\frac{20!}{(20-3)!.3!}=\frac{20.19.18.17!}{17!.3.2.1}=20.19.3$
Lihat juga: Soal peluang, Distribusi Normal, Peluang Binomial

Pembahasan Soal SBMPTN Turunan [1]

UM-UGM 2005
Turunan dari $f(x)=\frac{x^2-7}{x\sqrt{x}}$ adalah ...

Pembahasan
$y=\frac{u}{v}\rightarrow y'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$
$f(x)=\frac{x^2-7}{x\sqrt{x}}$, maka
$f'(x)=\frac{2x.(x\sqrt{x})-(x^2-7).\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}}{(x\sqrt{x})^2}$

$f'(x)=\frac{2x^2\sqrt{x}-\frac{3}{2}x^2\sqrt{x}+\frac{21}{2}\sqrt{x}}{x^2\sqrt{x}\sqrt{x}}$

$f'(x)=\frac{x^2+21}{2x^2\sqrt{x}}$

SBMPTN 2014

Jika $m$ dan $n$ bilangan real dan fungsi $f(x)=mx^3+2x^2-nx+5$ memenuhi $f'(1)=f'(-5)=0$, maka $3m-n=...$

Pembahasan
$f(x)=mx^3+2x^2-nx+5$
$f'(x)=3mx^2+4x-n$
$x=1\rightarrow f'(1)=3m+4-n=0\Leftrightarrow 3m-n=-4$

SIMAK UI 2011
Diketahui fungsi $f$ dan $g$ dengan $f'(2)=3$ dan $g'(2)=4$. Jika pada saat $x=2$, turunan dari $(f.g)(x)$ adalah 11 dan turunan dari $f^2+g^2)(x)$ adalah 20, maka turunan dari $\frac{f}{g}(x)$ saat $x=2$ adalah ...

Pembahasan
$(f.9)'(x)=f'(x).g(x)+f(x).g'(x)$
saat $x=2$ maka $(f.9)'(2)=f'(2).g(2)+f(2).g'(2)$
                      $11=3g(x)+4f(x)...(i)$
Misalkan $h(x)=f^2(x)+g^2(x)$, maka
          $h'(x)=2f(x).f'(x)+2g(x)g'(x)$
          $h'(2)=2f(2).f'(2)+2g(2)g'(2)$
          $20=2f(x).3+2g(x).4$
          $10=3f(x)+4g(x)...(ii)$
Berdasarkan $(i)$ dan $(ii)$ dengan menggunakan konsep sistem persamaan linier dua variabel, maka dapat diperoleh $g(2)=1$ dan $f(2)=2$. Jadi
$p(x)=\left ( \frac{f}{g} \right )(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$
$p'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$
$p'(2)=\frac{f'(2)g(2)-f(2)g'(2)}{(g(2))^2}$
$p'(x)=\frac{3.1-2.4}{(1)^2}=-5$

UM UGM 2018
Fungsi $f(x)=-cos2x+\sqrt{3}sin2x+1,\ 0\leq x\leq \pi$, mencapai ekstrim pada saat $x=x_1$ dan $x=x_2$. Nilai dari $x_1+x_2$ adalah ...

Pembahasan
Mencapai ekstrim saat turunan pertama sama dengan 0, maka

$f'(x)=0$
$2sin2x+2\sqrt{3}cos2x=0$
$2sin2x=-2\sqrt{3}cos2x$
$\frac{sin2x}{cos2x}=\frac{-2\sqrt{3}}{2}$
$tan2x=-\sqrt{3}\Rightarrow 2x={120^o,300^o}$

Maka di dapat:
⃝ $2x_1=120^o\Leftrightarrow x_1=60^o$
⃝ $2x_2=300^o\Leftrightarrow x_2=150^o$
$x_1+x_2=60^o+150^o=210^o$
Lihat juga: Materi Turunan,  Soal UN Turunan

UTS KELAS VIII SEMESTER 2 2017-2018

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA

Logaritma dengan bilangan pokok atau basis $a$ dapat dinyatakan sebagai $^alog\ y=x\Leftrightarrow y=a^x$; dimana $a>0$ dan $a\neq 1,\ y>0$.

Persamaan Logaritma
1. $^alog\ x=^alog\ y\Leftrightarrow x=y$
Dengan syarat $a>0,a\neq 1,x>0,\ dan\ y>0$
2. $^alog\ f(x)=c\Rightarrow  f(x)=a^c$
Dengan syarat $a>0,a\neq 1,\ dan\ f(x)>0$
3. $^alog\ f(x)=^alog\ g(x)\Rightarrow; f(x)=g(x)$
Dengan syarat $a>0,a\neq 1,f(x)>0,\ dan\ g(x)>0$
4. $^alog\ f(x)=^blog\ f(x)\Rightarrow f(x)=1$
Dengan syarat $a>0,a\neq 1,b>0,b\neq 1,a\neq b,\ dan\ f(x)>0$
5. $^{g(x)}log\ f(x)=c\Rightarrow f(x)=g(x)^c$
Dengan syarat $g(x)>0,g(x)\neq 1,\ dan\ f(x)>0$
6. $^{f(x)}log\ g(x)=^{f(x)}log\ h(x)\Rightarrow g(x)=h(x)$
Dengan syarat $f(x)\neq 1,f(x)>0,g(x)>0,\ dan\ h(x)>0$
7. $^{f(x)}log\ h(x)=^{g(x)}log\ h(x)\Rightarrow 1. f(x)=g(x);\ dan\ 2. h(x)=1$
Dengan syarat $h(x)>0,f(x)\neq 1,f(x)>0,g(x)\neq 1,\ dan\ g(x)>0$
6. $a(^plog\ x)^2+b(^plog\ x)+c=0$ dengan memisalkan $^plog\ x=y$ maka
    $a(^plog\ x)^2+b(^plog\ x)+c=0\Leftrightarrow ay^2+by+c=0$ [selesaikan dengan persamaan kuadrat]
    ❤ Trik: $x_1.x_2=p^{\frac{-b}{a}}$ ❤

Contoh Soal

1. Selesaikan $^4log\ (3x+1)=2$

Pembahasan
$^4log\ (3x+1)=2\Rightarrow (3x+1)=4^2$

$(3x+1)=16$

$3x=15\Leftrightarrow x=5$

2. Akar-akar persamaan $10.^9log^2x-5.^9logx-1=0$, adalah $x_1$ dan $x_2$. Nilai dari $x_1.x_2$ adalah ...
Pembahasan

$x_1.x_2=p^{\frac{-b}{a}}$

$x_1.x_2=9^{\frac{-(-5)}{10}}=9^{\frac{1}{2}}=3$

3. Himpunan penyelesaian dari $^2log^2x+2.^2logx-3=0$ adalah ...

Pembahasan

Misalkan $^2logx=y$, maka $^2log^2x+2.^2logx-3=0\Leftrightarrow y^2+2y-3=0$

$(y-1)(y+3)=0$

$y=1\ atau\ y=-3$

೦ $y=1\Leftrightarrow\ ^2logx=1\Leftrightarrow x=2^1=2$

೦ $y=-3\Leftrightarrow\ ^2logx=-3\Leftrightarrow x=2^{-3}=\frac{1}{8}$
Maka himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ 2, \frac{1}{8}\right \}$

4. Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $^alog\ (x+13)=^alog\ 6$

Pembahasan

$^alog\ (x+13)=^alog\ 6\Leftrightarrow x+13=6$

$\Leftrightarrow x=6-13=-7$

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan $^alog\ (x+13)=^alog\ 6$ adalah -7

5. Tentukan nilai $x$ agar persamaan $^{x+1}log\ (x^2+1)=^{x^2-5}log\ (x^2+1)$ bernilai benar 

Pembahasan
Solusi pertama:
$^{x+1}log\ (x^2+1)=^{x^2-5}log\ (x^2+1)\Leftrightarrow x+1=x^2-5$
$\Leftrightarrow 0=x^2-x-5-1$
$\Leftrightarrow 0=x^2-x-6$
$\Leftrightarrow 0=(x+2)(x-3)$
$0=x+2\ atau\ 0=x-3$
$x=-2\ atau\ x=3$
Periksa syarat untuk $x=-2$ dan $x=3$
untuk $x=-2$:
$x^2+1=(-2)^2+1=4+1=5>0$ memenuhi
$x+1=(-2)+1=-1<0$ tidak memenuhi
$x^2-5=(-2)^2-5=4-5=-1<0$ tidak memenuhi
untuk $x=3$:
$x^2+1=(3)^2+1=9+1=10>0$ memenuhi
$x+1=(3)+1=4>0$ memenuhi
$x^2-5=(3)^2-5=9-5=4>0$ memenuhi
Ini berarti, nilai $x=3$ merupakan solusi

solusi kedua:
$^{x+1}log\ (x^2+1)=^{x^2-5}log\ (x^2+1)\Leftrightarrow x^2+1=1$
$\Leftrightarrow x^2=0$
$\Leftrightarrow x=0$
Periksa syarat untuk $x=0$
$x^2+1=(0)^2+1=0+1=1>0$ memenuhi
$x+1=0+1=1>0$ memenuhi
$x^2-5=0^2-5=-5<0$ tidak memenuhi
Ini berarti, nilai $x=0$ bukan solusi
Jadi, nilai $x$ agar persamaan $^{x+1}log\ (x^2+1)=^{x^2-5}log\ (x^2+1)$ bernilai benar adalah 3

Pertidaksamaan Logaritma
a. untuk $a>1$
1. $^alog\ f(x)\geq\ ^alog\ g(x)\Rightarrow f(x)\geq g(x)$
2. $^alog\ f(x)\leq\ ^alog\ g(x)\Rightarrow f(x)\leq g(x)$
b. untuk $0<a<1$
1. $^alog\ f(x)\geq\ ^alog\ g(x)\Rightarrow f(x)\leq g(x)$
2. $^alog\ f(x)\leq\ ^alog\ g(x)\Rightarrow f(x)\geq g(x)$
dengan syarat $f(x)>0$ dan $g(x)>0$

Contoh Soal

1. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $^2log^2x+2.^2log2x>2$ adalah ...

Pembahasan

$^2log^2x+2.^2log2x>2$

$^2log^2x+2(^2log2+^2logx)>2$

$^2log^2x+2(1+^2logx)>2$

$^2log^2x+2+2^2logx>2$

$^2log^2x+2^2logx>0$

$^2logx=y$

$y^2+2y>0$

$y(y+2)>0$

$y=0\ atau\ y=-2$

Maka $y<-2$ atau $y>0$

օ $y=0\Leftrightarrow ^2logx=0\Leftrightarrow x=2^0=1$
օ $y=-2\Leftrightarrow ^2logx=-2\Leftrightarrow x=2^{(-2)}=\frac{1}{4}$
Maka $x<\frac{1}{4}\ atau\ x>1$
Syarat:
1. $x>0$,
2. $2x>0\Leftrightarrow x>0$
Maka himpunan penyelesaiannya adalah $0<x<\frac{1}{4}\ atau\ x>1$

2. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma $^{\frac{1}{2}}log(14-x)-^{\frac{1}{2}}log(x-5)\geq\  ^{\frac{1}{2}}log(x+2)$ adalah ...

Pembahasan

$^{\frac{1}{2}}log(14-x)-^{\frac{1}{2}}log(x-5)\geq ^{\frac{1}{2}}log(x+2)$

$^{\frac{1}{2}}log(14-x)(x-5)\geq\ ^{\frac{1}{2}}log(x+2)$

$^{\frac{1}{2}}log(-x^2+19x-70)\geq\ ^{\frac{1}{2}}log(x+2)$

$-x^2+19x-70\leq x+2$

$x^2-19x+70\geq  -x-2$

$x^2-18x+72\geq 0$

$(x-14)(x-5)\geq 0$

$x=14\ atau\ x=5$

$Maka\ x\leq 5\ atau\ x\geq 14$

Syarat:
1. $14-x>0\Leftrightarrow x< 14$
2. $x-5>0\Leftrightarrow x>5$
3. $x+2>0\Leftrightarrow x>-2$

Maka himpunan penyelesaiannya adalah irisan dari $maka\ x\leq 5\ atau\ x\geq 14$ dan syarat. Maka himpunannya adalah $5<x\leq 6\ atau\ 12\leq x< 14$

Lihat juga: Soal-Soal UN Logaritma

Menyelesaikan Persamaan Trigonometri

❤ Persamaan trigonometri sederhana bentuk $f(x)=c$, tentukan dulu sudut yang menghasilkan perbandingan trigonometri pada ruas kanan dengan cara:

〉Jika $sin\ x=sin\ \alpha$, maka
     a. $x=\alpha +k.360^o$
     b. $x=(180^o-\alpha )+K.360^o$
〉Jika $cos\ x=cos\ \alpha$, maka
     a. $x=\alpha +k.360^o$
     b. $x=-\alpha +k.360^o$
〉Jika $tan\ x=tan\ \alpha$, maka
     a. $x=\alpha +k.180^o$
dimana $k=...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...$

Contoh Soal
1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan $2sin\ x=1$ untuk $0^o\leq x\leq 360^o$.
Pembahasan

$2sin\ x=1$

$sin\ x=\frac{1}{2}$

$sin\ x=sin\ 30^o\Leftrightarrow \alpha =30^o$

a. $x=\alpha +k.360^o$
    $x=30^o+k.360^o$
》$k=-1\rightarrow x=30^o+(-1).360^o=-330^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]
》$k=0\rightarrow x=30^o+0.360^o=30^o$ [memenuhi]
》$k=1\rightarrow x=30^o+1.360^o=390^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]
b. $x=(180^o-\alpha )+k.360^o$
    $x=(180^o-\alpha )+k.360^o$
    $x=(180^o-30^o )+k.360^o$
    $x=150^o+k.360^o$
》$k=-1\rightarrow x=150^o+(-1).360^o=-210^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]
》$k=0\rightarrow x=150^o+(0).360^o=150^o$ [memenuhi]
》$k=1\rightarrow x=150^o+1.360^o=510^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]
Maka himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ 30^o,150^o\right \}$

2. Himpunan penyelesaian dari persamaan $2cos\ (2x-60^o)-1=0$ untuk $0^o\leq x\leq 180^o$ adalah ...
Pembahasan

$2cos\ (2x-60^o)-1=0$

$2cos\ (2x-60^o)=1$

$cos\ (2x-60^o)=\frac{1}{2}$

$cos\ (2x-60^o)=cos\ 60^o\Leftrightarrow \alpha =60^o$

a. $2x-60^o=\alpha +k.360^o$

    $2x-60^o=60^o +k.360^o$

    $2x=120^o +k.360^o$
    $x=60^o +k.180^o$
》$k=-1\rightarrow x=60^o +(-1).180^o=-120^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]
》$k=0\rightarrow x=60^o +0.180^o=60^o$ [memenuhi]
》$k=1\rightarrow x=60^o +1.180^o=240^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]
b. $2x-60^o=-\alpha +k.360^o$
    $2x-60^o=-60^o +k.360^o$
    $2x=k.360^o$
    $x=k.180^o$
》$k=-1\rightarrow x=(-1).180^o=-180^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]
》$k=0\rightarrow x=0.180^o=0^o$ [memenuhi]
》$k=1\rightarrow x=1.180^o=180^o$ [memenuhi]
Maka himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ 0^o,60^o,180^o \right \}$

❤ Persamaan trigonometri dalam bentuk $Acos\ x+Bsin\ x=c$.

$Acos\ x+Bsin\ x=c\Leftrightarrow Kcos(x-\beta )=c$

Dimana $K=\sqrt{A^2+B^2}$ dan $\beta =arc\ tan\ \frac{B}{A}$
Pembuktian
$Acos\ x+Bsin\ x=Kcos(x-\beta )$
                         $=K(cos\ x.cos\ \beta+sin\ x.sin\ \beta )$
                         $=K.cos\ x.cos\ \beta+K.sin\ x.sin\ \beta$
                         $=K.cos\ \beta.cos\ x+K.sin\ \beta.sin\ x$
Maka
$K.cos\ \beta=A\Leftrightarrow K^2.cos^2\ \beta=A^2$ .... [1]
$K.sin\ \beta=B\Leftrightarrow K^2.sin^2\ \beta=B^2$ .... [2]
Jumlahkan persamaan [1] dan [2], maka

$K^2.cos^2\ \beta+K^2.sin^2\ \beta=A^2+B^2$

$K^2(cos^2\ \beta+sin^2\ \beta)=A^2+B^2$

$K^2=A^2+B^2 \Leftrightarrow K=\sqrt{A^2+B^2}$

Jika $K.sin\ \beta=B$ dibagi dengan $K.cos\ \beta=A$, maka

$\frac{K.sin\ \beta }{K.cos\ \beta}=\frac{B}{A}$

$tan\ \beta =\frac{B}{A}\Leftrightarrow \beta =arc\ tan\ \frac{B}{A}$

Contoh Soal
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $cos\ x-sin\ x=1$, jika $0^o\leq x\leq 360^o$
Pembahasan

$cos\ x-sin\ x=1\Leftrightarrow Kcos(x-\beta )=1$

$K=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$

$\beta=arc\ tan\ \frac{-1}{1}$

$\beta=arc\ tan\ (-1)\Leftrightarrow \beta =-45^o$

Maka $cos\ x-sin\ x=1\Leftrightarrow \sqrt{2}cos(x+45^o )=1$

$\sqrt{2}cos(x+45^o )=1$
$cos(x+45^o )=\frac{1}{\sqrt{2}}$
$cos(x+45^o )=\frac{1}{2}\sqrt{2}$
$cos(x+45^o )=cos\ 45^o\Leftrightarrow \alpha =45^o$

a. $x+45^o=\alpha +k.360^o$

    $x+45^o=45^o +k.360^o$

    $x=k.360^o$

》$k=-1\rightarrow x=(-1).360^o=-360^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]

》$k=0\rightarrow x=0.360^o=0^o$ [memenuhi]

》$k=1\rightarrow x=1.360^o=360^o$ [memenuhi] 

b. $x+45^o=-\alpha +k.360^o$

    $x+45^o=-45^o +k.360^o$

    $x=-90^o +k.360^o$

》$k=-1\rightarrow x=-90^o +(-1).360^o=-450^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]

》$k=0\rightarrow x=-90^o +0.360^o=-90^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]

》$k=1\rightarrow x=-90^o +1.360^o=270^o$ [memenuhi]

Maka himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ 0^o,270^o,360^o \right \}$

UTS KELAS IX SEMESTER 2 [KTSP] TAHUN AJARAN 2018-2019

UTS KELAS VII

Ulangan Tengah Semester Kelas VII semester 1 materi operasi bilangan bulat, bilangan pecahan, dan aljabar. Berikut soalnya

SOAL DAN PEMBAHASAN PELUANG SMA

1. Dari $9$ orang calon pengurus RT akan dipilih $1$ orang ketua, $1$ orang wakil ketua, dan $1$ orang bendehara. Banyak kemungkinan susunan pengurus RT adalah ...

Pembahasan

Karena di pilih 3 orang yang menduduki jabatan berbeda-beda [memperhatikan urutan], maka $_{3}^{9}\textrm{P}=\frac{9!}{(9-3)!}=\frac{9.8.7.6!}{6!}=9.8.7=504$

2. Suatu reuni dihadiri $30$ orang peserta. Jika mereka saling berjabat tangan, banyak jabat tangan yang terjadi adalah ...

Pembahasan

Dalam berjabat tangan dilakukan oleh $2$ orang, jadi setiap orang dapat melakukan jabat tangan sekali. Ini sama artinya kita memilih dua orang untuk melakukan jabat tangan dari 30 orang. Karena dalam jabat tangan tidak memperhatikan urutan, kita cuma memilih 2 orang dari 30 orang maka banyaknya jabat tangan yang terjadi adalah $_{2}^{30}\textrm{C}=\frac{30!}{(30-2)!.2!}=\frac{30.29.28!}{28!.2.1}=15.29=435$.

3. Pada percobaan melempar dua buah dadu bersamaan satu kali, peluang munculnya mata dadu berjumlah 4 atau 10 adalah ...

Pembahasan

Dalam percobaan melempar dua buah dadu dapat di cari ruang sampelnya [S] sebagai berikut

$S={(1,1)(1,2),(1,3),...,(2,1),(2,2), ...,(3,1),(3,2),...,(6,6)}\rightarrow n(S)=6^2=36$

Misalkan A adalah himpunan munculnya mata dadu berjumlah 4 dan B adalah himpunan mata dadu berjumlah 10, maka

$A={(1,3),(2,2),(3,1)}\rightarrow n(A)=3\rightarrow P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{3}{36}$

$B={(4,6),(5,5),(6,4)}\rightarrow n(B)=3\rightarrow P(B)=\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{3}{36}$

Karena yang di tanya peluang munculnya mata dadu berjumlah 4 atau 10, maka

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)=\frac{3}{36}+\frac{3}{36}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$

4. Tiga mata uang logam dilempar undi sebanyak 64 kali. Frekuensi harapan muncul dua gambar dan satu angka adalah ...

Pembahasan
Dalam percobaan melempar 3 buah uang logam dapat dicari ruang sampelnya [S] sebagai berikut
$S={(AAA),(AAG),(AGA),(GAA),....(GGG)}\rightarrow n(S)=2^3=8$
Misalkan A adalah himpunan muncul dua gambar dan satu angka, maka
$A={(GGA),(GAG),(AGG)}\rightarrow n(A)=3\rightarrow p(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{3}{8}$
Jadi Frekwensi harapan dengan $N=64$ adalah
$F_H(A)=P(A).N=\frac{3}{8}.64=3.8=24$

5. Pada sebuah lemari pakaian tersimpan 5 baju putih dan 3 baju biru. Jika di ambil dua baju secara acak satu persatu berturut-turut tanpa pengembalian, maka peluang terambil pertama baju putih dan kedua baju biru adalah ...

Pembahasan
Pengambilan pertama satu baju putih, maka peluangnya adalah
$P(P)=\frac{n(P)}{n(S)}=\frac{5}{8}$
Pengambilan kedua satu baju biru, karena di soal dinyatakan tanpa pengambilan maka $n(S)=7$ [karena sudah di ambil 1 baju putih], maka peluang pada pengambilan kedua adalah ...
$P(B)=\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{3}{7}$
Jadi peluang terambil pertama baju putih dan kedua baju biru adalah
$P(P\cup B)=\frac{5}{8}.\frac{3}{7}$

Lihat Juga: Peluang Kejadian Saling Bebas Stokastik

LKS TRAPESIUM DAN JAJAR GENJANG

Berikut merupakan Lembar Kerja Siswa [LKS] untuk materi keliling dan luas bangun datar yaitu trapesium dan jajar genjang. Lihat kembali:

• Penggalan buku untuk materi Segitiga dan Segi empat
• Lembar Kerja Siswa Materi Segiempat

PELUANG KEJADIAN SALING BEBAS STOKASTIK

❤❤ PELUANG KEJADIAN SALING BEBAS STOKASTIK❤❤

Kejadian saling bebas stokastik jika munculnya kejadian pertama tidak mempengaruhi peluang munculnya kejadian kedua. Misalkan pada percobaan pelemparan sekeping mata uang logam dan sebuah dadu secara bersamaan sebanyak satu kali. $K_L$ adalah kejadian munculnya sisi gambar pada uang logam dan $K_D$ adalah kejadian munculnya mata dadu genap. Perhatikan bahwa munculnya sisi gambar pada uang logam tidak mempengaruhi munculnya mata dadu genap, sehingga $K_L$ dan $K_D$ disebut kejadian saling bebas stokastik. 

Peluang terjadinya $K_L$ dan $K_D$ ditulis $(K_L\cap K_D)$ untuk $K_L$ dan $K_D$ saling bebas stokastik adalah $(K_L\cap K_D)=P(K_L).P(K_D)=\frac{n(K_L)}{n(S)}.\frac{n(K_D)}{n(S)}$
Kejadian $A_1,A_2,...,A_k$ adalah kejadian-kejadian saling bebas stokastik secara lengkap jika
$P(A_1\cap A_2\cap ...\cap A_k)=P(A_1)P(A_2)...P(A_k)$

Contoh soal.
Pada percobaan  melempar 2 dadu, $A$ adalah kejadian dadu pertama muncul mata genap, $B$ adalah kejadian dadu kedua muncul mata dadu kurang dari 3. Berapa peluang kejadian $A$ dan $B$.
Jawab
$A=$ Kejadian dadu pertama muncul mata genap
👉$A=\left \{ 2,4,6 \right \}\rightarrow n(A)=3\rightarrow P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
$B=$ Kejadian dadu kedua muncul mata dadu kurang dari 3
👉$B=\left \{ 1,2 \right \}\rightarrow n(B)=2\rightarrow p(B)=\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
👉 Maka, $P(A\cap B)=P(A).P(B)=\frac{1}{2}.\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$
 
⃟ Peluang Pengambilan dengan Pengembalian
Peluang pengambilan dengan pengembalian dapat di pandang sebagai kejadian yang saling bebas.
$(K_L\cap K_D)=P(K_L).P(K_D)=\frac{n(K_L)}{n(S)}.\frac{n(K_D)}{n(S)}$
Contoh soal.
Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 4 bola putih. Jika diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalian. Berapa peluang bola yang terambil berturut-turut berwarna merah dan putih.
Jawab
Misalkan $A$ adalah kejadian munculnya bola merah pada pelemparan pertama, maka
$n(A)$ menyatakan banyaknya bola merah yaitu 5 dan $n(S)$ menyatakan banyaknya semua bola yaitu 9.
$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{5}{9}$
Karena bola yang sudah di ambil pada pengambilan pertama dikembalikan lagi, maka $n(S)$ atau  banyaknya semua bola tetap yaitu 9. Misalkan $B$ adalah kejadian munculnya bola putih dan $n(B)$ menyatakan banyaknya bola merah yaitu 4, maka
$P(B)=\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{4}{9}$
Jadi peluang bola yang terambil berturut-turut berwarna merah dan putih adalah $(A\cap B)=P(A).P(B)=\frac{5}{9}.\frac{4}{9}=\frac{20}{81}$

❤❤ PELUANG BERSYARAT❤❤

Pada suatu percobaan, jika kejadian $A$ dan $B$ dapat terjadi bersama-sama tetapi terjadi atau tidak terjadinya $A$ akan mempengaruhi terjadia atau tidak terjadinya kejadian $B$, maka kejadian tersebut disebut kejadian bersyarat dan berlaku:

Peluang munculnya kejadian $A$ dengan syarat kejadian $B$ telah terjadi adalah

$P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ dengan $P(B)\neq 0$

Contoh soal.

1. Pada pelemparan 2 buah dadu, berapakah peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu pertama dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terlebih dahulu.
Jawab
Dari soal diketahui dua dadu, maka $n(S)=6^2=36$
$A=$ Kejadian munculnya angka 1 pada dadu pertama
$A=\left \{ (1,1);(2,1);(3,1);(4,1);(5,1);(6,1) \right \}$
$B=$ Kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 [sebagai syarat]
$B=\left \{ (1,1);(1,2);(2,1) \right \}\Rightarrow n(B)=3$
👉 $P(B)=\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{3}{36}$
$(A\cap B)=\left \{(1,1);(2,1) \right \}\Rightarrow n(A\cap B)=2$
👉 $P(A\cap B)=\frac{n(A\cap B)}{n(S)}=\frac{2}{36}$
Jadi $P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{2}{36}}{\frac{3}{36}}=\frac{2}{3}$

2. Sebuah koin seimbang dilempar dua kali. Berapa peluang munculnya dua sisi muka dengan syarat sisi muka muncul pertama.

Jawab

Dari soal diketahui dua koin, maka $n(S)=2^2=4$

$A=$ Kejadian dua sisi muka [gambar]

$A=\left \{ (GG) \right \}$

$B=$ Kejadian sisi muka muncul pertama [sebagai syarat]

$B=\left \{ (GG),(GA) \right \}\Rightarrow n(B)=2$

👉 $P(B)=\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

$(A\cap B)=\left \{(GG) \right \}\Rightarrow n(A\cap B)=1$
👉 $P(A\cap B)=\frac{n(A\cap B)}{n(S)}=\frac{1}{4}$
Jadi $P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$

⃟ Peluang Pengambilan tanpa Pengembalian

Peluang pengambilan tanpa pengembalian dapat dipandang sebagai kejadian bersyarat.

$P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\Leftrightarrow P(A\cap B)=P(A/B).P(B)$

Contoh soal.
Pada pengambilan dua buah kartu bridge satu per satu tanpa pengembalian. Berapa peluang terambil kartu AS pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua.
Jawab

Misalkan $A$ adalah kejadian munculnya kartu As pada pengambilan pertama. $n(A)$ menyatakan banyaknya kartu As pada karu bridge yaitu 4.  $n(S)$ menyatakan banyaknya semua kartu bridge dalam satu set yaitu 52. Maka,

    👉 $P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{4}{52}$
Satu kartu As pada pengambilan pertama tidak dikembalikan lagi sehingga jumlah tumpukan kartu menjadi 51 $[n(S)'=51]$. Jika $B$ adalah kejadian munculnya kartu king pada pengambilan kedua dan banyaknya kartu king pada satu set kartu adalah 4 $[n(B)=4]$, maka
    👉 $P(B/A)=\frac{n(B/A)}{n(S)'}=\frac{4}{51}$
Jadi peluang terambil kartu AS pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua adalah $P(A\cap B)=P(B/A).P(A)=\frac{4}{51}.\frac{4}{52}$

Lihat juga: Soal dan Pembahasan Peluang, Soal-Soal Peluang, Distribusi Normal, Distribusi Binomial

GARIS POLAR

Jika terdapat titik $P(x_0,y_0)$ berada di luar lingkaran $L:x^2+y^2=r^2$, maka dari titik $P$ dapat di buat dua garis singgung yang menyinggung lingkaran $L$ di titik $A(x_1,y_1)$ dan $B(x_2,y_2)$. Garis singgung tersebut berturut-turut $g_1$ dan $g_2$, dimana:

   $g_1:x_1x+y_1y=r^2$

   $g_2:x_2x+y_2y=r^2$

Karena titik $A(x_1,y_1)$ dan $B(x_2,y_2)$ berada pada lingkaran $L$.

Lihat seperti gambar di bawah.

Garis singgung $g_1$ dan $g_2$ melalui titik $P(x_0,y_0)$, maka berlaku:

$x_1x_0+y_1y_0=r^2$ dan $x_2x_0+y_2y_0=r^2$

dari dua persamaan di atas, dapat disimpulkan bahwa koordinat-koordinat titik $A(x_1,y_1)$ dan $B(x_2,y_2)$ memenuhi persamaan $x_0x+y_0y=r^2$.

Jadi
❤ Persamaan garis kutub/polar dari titik $P(x_0,y_0)$ terhadap lingkaran $L:x^2+y^2=r^2$ adalah $p:x_0x+y_0y=r^2$

Maka berlaku pula untuk bentuk lingkaran yang lain.

❤ Persamaan garis kutub/polar dari titik $P(x_0,y_0)$ terhadap lingkaran $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ adalah $(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2$

❤Persamaan garis kutub/polar dari titik $P(x_0,y_0)$ terhadap lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ adalah $x_0x+y_0y+\frac{1}{2}A(x_0+x)+\frac{1}{2}B(y_0+y)+C=0$

Dapat disimpulkan beberapa hal mengenai garis polar yaitu sebagai berikut.

1. Jika suatu titik berada di luar lingkaran misalkan titik $A$, maka garis kutub/polarnya memotong lingkaran di dua titik. Lihat gambar di bawah

2. Jika suatu titik berada pada lingkaran misalkan titik $B$, maka garis kutub/polarnya adalah garis singgung lingkaran di titik $B$. Lihat gambar di bawah

3. Jika suatu titik berada di dalam lingkaran misalkan titik $C$, maka garis kutub/polarnya tidak memotong maupun menyinggung lingkaran. Lihat gambar di bawah

Dalam soal garis polar ini biasanya digunakan untuk mencari garis singgung suatu lingkaran yang melalui titik di luar lingkaran. Contohnya bisa di lihat di bawah ini.
Diketahui lingkaran $L:x^2+y^2=16$ dan titik $P(-3,4)$ di luar lingkaran. Tentukan persamaan-persamaan garis singgung lingkaran $L$ yang melalui titik $P$.
Jawab
👉 Persamaan polar/kutub dari titik $P(-3,4)$ terhadap lingkaran $L:x^2+y^2=16$ adalah $-3x+4y=16$
Persamaan polar $-3x+4y=16$ memotong lingkaran $L:x^2+y^2=16$, maka kita perlu mencari titik potongnya.
👉 $-3x+4y=16\Leftrightarrow y=\frac{16+3x}{4}\Leftrightarrow y=4+\frac{3}{4}x$, kemudian substitusi ke persamaan lingkaran $x^2+y^2=16$

$x^2+\left ( 4+\frac{3}{4}x \right )^2=16$

$x^2+16+6x+\frac{9}{16}x^2=16$

$x^2+\frac{9}{16}x^2+6x=0$

$16x^2+9x^2+96x=0$

$25x^2+96x=0$

$x(25x+96)=0$

$x=0\ atau\ x=-\frac{96}{25}$

Untuk $x=0\Rightarrow y=4+\frac{3}{4}(0)=4$. Jadi titik potongnya $(0,4)$

Untuk $x=-\frac{96}{25}\Rightarrow y=4+\frac{3}{4}\left ( -\frac{96}{25} \right )=4-\frac{72}{25}=\frac{28}{25}$. Jadi titik potongnya $\left ( -\frac{96}{25}, \frac{28}{25}\right )$

Titik $(0,4)$ dan $\left ( -\frac{96}{25}, \frac{28}{25}\right )$ merupakan titik singgung yang berada pada lingkaran. Jadi bisa kita buat persamaan garis singgung di titik tersebut.

👉 Untuk titik singgung $(0,4)$ dan lingkaran $L:x^2+y^2=16$, maka persamaan garis singgungnya  $0x+4y=16\Leftrightarrow 4y=16\Leftrightarrow y=4$

👉 Untuk titik singgung $\left ( -\frac{96}{25}, \frac{28}{25}\right )$ dan lingkaran $L:x^2+y^2=16$, maka persamaan garis singgungnya $-\frac{96}{25}x+\frac{28}{25}y=16\Leftrightarrow -96x+28y=400\Leftrightarrow -24x+7y=100$

SEGITIGA DAN SEGIEMPAT

Berikut merupakan penggalan buku dari Matematika Kelas VII Kurikulum 2013 Edisi Revisi 2017 Materi Segitiga dan Segiempat.

Penggalan Buku Matematika yang di tulis oleh J. Dris, Tasari yang diterbitkan oleh Pusat Kurikulum dan Perbukuan Kementrian Pendidikan Nasional Tahun 2011.

Penggalan Buku Matematika yang di tulis oleh Dewi Nuharini dan Tri Wahyuni "Matematika Konsep dan Aplikasinya" Tahun 2008.

Soal Latihan

1). Sebuah kolam berbentuk persegi dengan ukuran sisinya $10\ m$. Tentukan

      a. Keliling kolam

      b. Luas kolam

2). Bentuk rumah Burhan adalah persegi dengan luas $64\ m^2$. Tentukan ukuran sisi dari rumah Burhan.

3). Sebuah lapangan basket berbentuk persegi panjang memiliki luas $84\ m^2$ dengan panjang $12m$. Hitunglah lebar dan keliling lapangan tersebut.

4). Kamar mandi Cupli akan dipasangi keramik. Luas kamar mandi $20\ m^2$, dan luas keramik $20\ cm^2$. Berapa dus yang diperlukan untuk memasang keramik tersebut dengan catatan 1 dus = 5 buah keramik.

Catatan: 

    ❤ $1\ m=100\ cm$

    ❤ $1\ m^2=10.000\ cm^2$

Pembahasan soal SBMPTN Trigonometri [2]

SBMPTN 2017

Jika $2sinx+3cotx-3cscx=0$, dengan $0<x<\frac{\pi }{2}$ maka $sinx.cosx=...$

Pembahasan

$2sinx+3cotx-3cscx=0$

$2sinx+3\frac{cosx}{sinx}-3\frac{1}{sinx}=0$

$\frac{2sin^2x+3cosx-3}{sinx}=0$

$\frac{2(1-cos^2x)+3cosx-3}{sinx}=0$

$2-2cos^2x+3cosx-3\ dengan\ sinx\neq 0$

$2cos^2x-3cosx+1=0$

Misalkan $cosx=y$, maka

$2y^2-3y+1=0$

$(2y-1)(y-1)=0$

$y=\frac{1}{2}\ atau\ y=1$

karena $0<x<\frac{\pi }{2}$, maka kita pilih $y=\frac{1}{2} \Leftrightarrow cosx=\frac{1}{2}$. Berdasarkan $cosx=\frac{1}{2}$ perhatikan gambar di bawah!

Berdasarkan gambar di atas, maka $sinx.cosx=\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\sqrt{3}$

SBMPTN 2017

Jika $\frac{2tanx}{1-tan^2x}-5=0$ dengan $0<x<\frac{\pi }{2}$ maka $cos^2x-sin^2x=...$

Pembahasan

$\frac{2tanx}{1-tan^2x}-5=0$

$\frac{2tanx}{1-tan^2x}=5$

$tan(2x)=5\rightarrow$ dapat dibuat gambar segitiga seperti di bawah ini

Berdasarkan gambar di atas, maka $cos^2x-sin^2x=cos(2x)=\frac{1}{\sqrt{26}}$

SBMPTN 2017

Diketahui persamaan $sec\theta \left ( sec\theta (sin\theta )^2+\frac{2}{3}\sqrt{3}sin\theta  \right )=1$. Jika ${\theta }_1$ dan ${\theta }_2$ adalah solusi dari persamaan tersebut, maka $tan {\theta }_1.tan {\theta }_2=...$

Pembahasan

$sec\theta \left ( sec\theta (sin\theta )^2+\frac{2}{3}\sqrt{3}sin\theta  \right )=1$

$\frac{1}{cos\theta }\left( \frac{1}{cos\theta } .sin^2\theta+\frac{2}{3}\sqrt{3}sin\theta  \right )=0$

$\frac{sin^2\theta }{cos^2\theta}+\frac{2}{3}.\frac{sin\theta}{cos\theta}=1$

$tan^2\theta +\frac{2}{3}tan\theta =1$

$tan^2\theta +\frac{2}{3}tan\theta -1 =0$, 

Anggap persamaan kuadrat dengan variabel $tan\theta$, maka $tan{\theta }_1.tan{\theta }_2=\frac{c}{a}=\frac{-1}{1}=-1$

UGM 2018
Diberikan persamaan $2sin^3x-cos^2x-2sinx=0,\ 0\leq x\leq \frac{3\pi }{2}$. Jika $x_1$ penyelesaian terkecil dan $x_2$ penyelesaian terbesar dari persamaan tersebut, maka $x_2-x_1= ...$

Pembahasan 

$2sin^3x-cos^2x-2sinx=0$
$2sin^3x-(1-sin^2x)-2sinx=0$
$2sin^3x+sin^2x-2sinx-1=0$
$(sinx-1)(sinx+1)(2sinx+1)=0$
$sinx=1\ atau\ sinx=-1\ atau\ sinx=-\frac{1}{2}$

Untuk $sinx=1\rightarrow x=90^o$

Untuk $sinx=-1\rightarrow x=270^o$
Untuk $sinx=-\frac{1}{2}\rightarrow x=210^o, 330^o$

$maka\ x_2-x_1=330^o-90^o=240^o$

SBMPTN 2018
Himpunan semua bilangan real $x$ pada selang $(\pi ,2\pi )$ yang memenuhi $csc\ x(1-cotx)<0$ berbentuk $(a,b)$. Nilai $a+b$ adalah ...
Pembahasan
$csc\ x(1-cotx)<0$
$\frac{1}{sinx}\left ( 1-\frac{cosx}{sinx} \right )<0$
$\frac{1}{sinx}\left ( \frac{sinx-cosx}{sinx} \right )<0$
$\frac{sinx-cosx}{sin^2x}<0\rightarrow {sin^2x}>0$, jadi haruslah $sinx-cosx<0$ agar memenuhi $\frac{sinx-cosx}{sin^2x}<0$.

Pembahasan Soal SBMPTN Logaritma [1]

SBMPTN 2018
Jika $2^4logx-^4log(4x+3)=-1$, maka $^2logx=...$

Pembahasan
$2^4logx-^4log(4x+3)=-1$
$^4logx^2-^4log(4x+3)=^4log4^{-1}$
$^4log\left ( \frac{x^2}{4x+3} \right )=^4log\left ( \frac{1}{4} \right )$
Maka $\frac{x^2}{4x+3}=\frac{1}{4}$
          $4x^2=4x+3$
          $4x^2-4x-3=0$
          $(2x-3)(2x+1)=0\Rightarrow x=\frac{3}{2}\ atau\ x=\frac{-1}{2} [Tidak\ Memenuhi]$
$x=\frac{3}{2}\rightarrow ^2logx=^2log\left ( \frac{3}{2} \right )=^2log3-^2log2=^2log3-1$

SBMPTN 2018
Jika $\alpha$ dan $\beta$ adalah akar-akar dari persamaan $^xlog3-^xlog\left ( 2x-4+\frac{4}{x} \right )=1$, maka $\alpha +\beta =...$

Pembahasan
$^xlog3-^xlog\left ( 2x-4+\frac{4}{x} \right )=1$
$^xlog\left ( \frac{3}{2x-4+\frac{4}{x}} \right )=^xlogx$
$\frac{3}{2x-4+\frac{4}{x}}=x$
$3=2x^2-4x+4$
$2x^2-4x+1=0\rightarrow \alpha +\beta =-\frac{-4}{2}=2$

SBMPTN 2015
Diketahui $^plog2=9$ dan $^qlog4=8$. Jika $s=p^3$ dan $t=q^2$, maka nilai $^tlogs$ adalah ...

Pembahasan
Catatan yang perlu di ingat: $^alogb=c\Leftrightarrow b=a^c$
🍀 $^plog2=9\leftrightarrow 2=p^9\leftrightarrow p=2^{\frac{1}{9}}\leftrightarrow p^3=t=2^\frac{1}{3}$
🍀 $^qlog4=8\leftrightarrow 4=q^8\leftrightarrow q=4^{\frac{1}{8}}\leftrightarrow q^2=s=4^{\frac{1}{4}}$
Jadi
$^tlogs\leftrightarrow ^{4^{\frac{1}{4}}}log2^{\frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{4}}\ ^4log2=\frac{4}{3}.\frac{1}{2}\ ^2log2=\frac{2}{3}$

SBMPTN 2014
Jika $^ploga=2$ dan $^qlog8p=2$, maka $^{2p}log\frac{pq^2}{a}=...$

Pembahasan
Berdasarkan Soal:
🍀 $^ploga=2\leftrightarrow a=p^2$
🍀 $^qlog8p=2\leftrightarrow 8p=q^2$
Jadi
$^{2p}log\frac{pq^2}{a}=^{2p}log\frac{p(8p)}{p^2}=^{2p}log8=^{2p}log2^3=3\ ^{2p}log2=\frac{3}{^{2}log2p}$

SBMPTN 2014
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalan penyelesaian persamaan $(^2logx)^2+2logx=6$ maka $x_1x_2=...$

Pembahasan
$(^2logx)^2+2logx=6$, misalkan $2logx=y$, maka
$y^2+y=6$
$y^2+y-6=0$
$y_1+y_2=-\frac{b}{a}=-\frac{1}{1}=-1$
$y_1+y_2=2logx_1+2logx_2=2logx_1.x_2$
Maka $2logx_1.x_2=-1\Leftrightarrow x_1.x_2=2^{-1}=\frac{1}{2}$

LEMBAR KERJA SISWA MATERI SEGIEMPAT

SIFAT-SIFAT SEGIEMPAT

TUJUAN PEMBELAJARAN

    ♥ Siswa dapat memahami jenis dan sifat-sifat segiempat
KEGIATAN
♣  Apakah yang dimaksud dengan diagonal?
♣  Apakah yang dimaksud dengan simetri putar?
♣  Apakah yang dimaksud dengan simetri lipat?
Perhatikan gambar di bawah ini:

Sebutkan gambar yang sejenis dengan gambar A. Sebutkan ciri-ciri/sifat-sifat dari bangun A tersebut berdasarkan:

• Panjang sisi bangun segiempat. Apakah semua sisi sama panjang atau tidak sama panjang?
• Panjang sisi yang berhadapan. Apakah sama panjang atau tidak sama panjang?
• Apakah mempunyai sepasang sisi sejajar atau dua pasang sisi sejajar?
• Kedudukan sisi-sisi yang berhadapan. Apakah sejajar atau berpotongan tegak lurus atau berpotongan tidak tegak lurus.
• Kedudukan diagonal-diagonalnya. Apakah sejajar atau berpotongan?
• Apakah masing-masing diagonal membagi daerah menjadi dua bagian sama besar atau tidak sama besar?
• Apakah titik potong kedua diagonal ditengah-tengah bangun tersebut jika seandainya diagonalnya berpotongan?
• Bagaimana panjang diagonalnya. Apakah sama panjang atau tidak sama panjang?
• Besar masing-masing sudutnya. Apakah semua sudut sama besar atau tidak sama besar?
• Besar sudut-sudut yang berhadapan. Apakah sama besar atau tidak sama besar atau jumlahnya $180^o$
• Besar sudut-sudut yang berdekatan. Apakah sama besar atau tidak sama besar atau jumlahnya $180^o$
• Berapa memiliki simetri lipat?
• Berapa memiliki simetri putar?

Sebutkan gambar yang sejenis dengan gambar B,C,D,G. Sebutkan ciri-ciri/sifat-sifat dari bangun B,C,D,G tersebut sesuai ciri-ciri di atas.

♣  Apakah persamaan dan perbedaan sifat-sifat persegi dengan persegi panjang?

♣  Apakah persamaan dan perbedaan sifat-sifat jajargenjang dengan trapesium?

♣  Apakah persamaan dan perbedaan sifat-sifat belah ketupat dengan layang-layang?

♣  Apakah persamaan dan perbedaan sifat-sifat persegi dengan belah ketupat?

♣  Perhatikan gambar di bawah ini

    ♡ Tentukan nilai $y$

    ♡ Tentukan besar sudut $BAD$

    ♡ Tentukan besar sudut $ABC$






♣  Perhatikan gambar di bawah ini

Jika $AD=(2x+5),\ BC=(x+7),\ \angle ABC=60^o$, maka tentukan.
   ♡ Nilai $x$
   ♡ Panjang sisi $AD$
   ♡ Besar $\angle ADC$ dan $\angle BCD$

KEKONTINUAN SUATU FUNGSI

Kontinu dalam arti sederhana adalah proses yang berkelanjutan tanpa perubahan yang mendadak. Fungsi yang kontinu adalah fungsi yang grafiknya terus berlanjut tanpa adanya putus atau hilang. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar di bawah ini.
1. Fungsi $g(x)$ tidak kontinu [Diskontinu]

2. Fungsi $f(x)$ tidak kontinu [Diskontinu]

 3. Fungsi $h(x)$ kontinu

Definisi:

Fungsi $f(x)$ dikatakan kontinu pada $x=a$ jika $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$

Dari definisi di atas, secara implisit mengartikan bahwa jika suatu fungsi $f(x)$ kontinu mensyaratkan tiga hal berikut.

1. $f(a)$ terdefinisi [ada]

2. $\lim_{x\rightarrow a}f(x)$ ada

3. $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$

Sedangkan, fungsi $f(x)$ dikatakan diskontinu pada $x=b$ jika \lim_{x\rightarrow a}f$x$\neq f$a$.

Perhatikan contoh berikut:

1. Diketahui fungsi $f$ sebagai berikut:

$f(x)=\left\{\begin{matrix}x+1\ ;\ x>1\\ 2\ ;\ x=1\\ 3x^2-1\ ;\ x<1\end{matrix}\right.$

Tentukan apakah fungsi berikut kontinu saat $x=1$.

Jawab.

👉 $f(1)=2$ [Terdefinisi/ada]

👉 Berdasarkan materi Konsep Limit maka $\lim_{x\rightarrow 1^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^-}{3x^2-1}={3(1)^2-1}=2$ sedangkan $\lim_{x\rightarrow 1^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^+}{x+1}=1+1=2$. Karena limit kiri sama dengan limit kanan maka $\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=2$

👉 $\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=f(1)=2$

Karena ketiga syarat tersebut terpenuhi, maka fungsi $f(x)$ di atas kontinu saat $x=1$.
2. Diketahui fungsi $g$ sebagai berikut:
$g(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$
Tentukan apakah fungsi berikut kontinu saat $x=1$

Jawab.

👉$g(1)$ tidak ada, karena jika kita substitusi $x=1$ ke fungsi $g(x)$ akan menghasilkan penyebutnya 0. Oleh karena itu $g(1)$ tidak terdefinisi.

Karena syarat pertama sudah tidak terpenuhi, maka kita tidak perlu mengecek syarat kedua dan ketiga karena sudah pasti fungsi $g(x)$ tidak kontinu.